Corso di Algebra geometrica - 1 - Introduzione

La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l'universo), ma non si può intendere se prima non s'impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne' quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto. (Galileo Galilei)

Tutti quelli che approcciano la scienza, e la fisica in particolare, sono d'accordo con la precedente frase di Galileo. Il problema è che questo linguaggio matematico non è unico. Esistono, infatti, differenti sistemi matematici, ognuno dei quali si presenta con i propri vantaggi e i proprio svantaggi. In questo breve corso si vuole presentare quello che secondo me è probabilmente il più completo e più potente sistema matematico sviluppato ad oggi. Esso è l'algebra geometrica.

Chi ha affrontato studi scientifici ha toccato più volte alcuni dei temi proposti in questo corso, ma raramente ha avuto la possibilità di toccare con piena mano l'argomento generale dell'algebra geometrica. Ingegneri e fisici hanno parecchia dimestichezza con vettori, superfici e anche oggetti multidimensionali, mentre molti fisici incontrano l'algebra geometrica soltanto di striscio quando studiano l'algebra delle matrici di Pauli e di Dirac. Questo corso ha come obiettivo minimo l'introduzione del formalismo dell'algebra geometrica e la sua applicazione ad una varietà impressionante di problemi fisici. Tale formalismo dovrebbe far parte integrante del bagaglio tecnico di ogni buon fisico, sia che faccia lavoro teorico che sperimentale.

L'algebra geometrica ha le sue radici nel pensiero dell'antica Grecia, i cui matematici costruirono delle regole geometriche per descrivere il mondo così come essi lo vedevano e che esprimevano le relazioni geometriche attraverso dell'equazioni algebriche. La geometria che nacque, e che prese il nome da uno dei matematici più illustri della tradizione ellenica, l'Euclide degli Elementi, rimase praticamente senza obiezioni fino al diciottesimo secolo, quando i matematici scoprirono nuove geometrie con differenti proprietà di quella euclidea. Queste nuove geometrie avevano ognuna delle proprie distinte proprietà algebriche e una delle preoccupazioni principali dei matematici del diciannovesimo secolo fu quello di porre queste differenti geometrie all'interno di una stesso contesto algebrico. In quest'ottica il contributo dato da William Kingdon Clifford, basato sui lavori precedenti di William Rowan Hamilton e Hermann Grassmann, fu fondamentale e questo corso tratterà principalmente e quasi esclusivamente della sua scoperta.

Nel prossimo post su questo argomento verrano trattati i rudimenti necessari per poter capire a fondo la portata dell'apporto di Clifford. Verranno trattati quindi gli spazi vettoriali e le loro proprietà, concentrandosi in particolar modo sulla nozione dei due prodotti, quello scalare e quello vettoriale.