Corso di Algebra geometrica - 3d - Esercizi

Prima parte - 3a
1 - Verificare che le matrici: $$E_1=\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right); \;\;\;\; E_2=\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix}\right)$$ soddisfano le relazioni della base ($e_1,e_2)$ di $\mathcal{G}_2$ e quindi ne forniscono una rappresentazione matriciale.

Corso di Algebra geometrica - 3c - Algebra geometrica in 2D e in 3D

Per affrontare il discorso sulle rotazioni in 3D partiremo con il considerare le riflessioni. Per riflessione intenderemo il prendere un vettore $a$ e rifletterlo rispetto al piano ortogonale ad un vettore unitario $n$. In 3D sappiamo che, dato un piano, esiste sempre una e una sola direzione ad esso ortogonale. Tuttavia, come vedremo tale discorso si generalizza facilmente a casi con più dimensioni, perché le uniche operazioni che faremo coinvolgono soltanto il vettore unitario $n$ e quindi avremo riflessioni rispetto ad iperpiani. Le rotazioni seguiranno quindi considerando due successive riflessioni e la loro composizione risulterà in rotazioni rispetto ad un piano definito da un bivettore. In questo senso le rotazioni in algebra geometrica si intendono sempre come rotazioni rispetto ad un certo bivettore e viene meno la necessità di definire un asse di rotazione e quindi spariscono i problemi dovuti alle differenze tra vettori assiali e vettori polari. Quelli che hanno studiato meccanica o elettromagnetismo sono ben consci delle difficoltà (alle quali spesso solo la pratica abitua) nel considerare grandezze fisiche come il momento angolare (sia in meccanica classica che in meccanica quantistica), i momenti delle forze o il campo magnetico. Queste grandezze sono di solito chiamate pseudovettori in letteratura. La difficoltà consiste nel fatto che uno pseudovettore si trasforma come un vettore nelle rotazioni proprie ma cambia di segno per rotazioni improprie come le riflessioni. Prima di cominciare con la discussione delle riflessioni, cominciamo con alcune convenzioni per aiutarci a scrivere le espressioni matematiche in maniera ancora più agevole in algebra geometrica. Facciamo questo anche per chiarire un po' le idee sulle terminologie e sul modus operandi nell'algebra geometrica.

Corso di Algebra geometrica - 3b - Algebra geometrica in 2D e in 3D

Dopo aver visto l'algebra in due dimensioni, affrontiamo ora l'algebra geometrica dello spazio tridimensionale. Essa, già per il fatto che lo spazio tridimensionale è ciò che quotidianamente viviamo, è un'algebra molto interessante che ci permetterà di introdurre molti strumenti matematici che verranno utilizzati anche in seguito. Inoltre, l'algebra $\mathcal{G}_3$ è un ottimo strumento per risolvere e studiare una miriade di problemi sia geometrici sia di meccanica classica, in quanto essa descrive scalari, vettori, piani, volumi oltre alle operazioni su di essi, come riflessioni e rotazioni in un'unica algebra.

Corso di Algebra geometrica - 3a - Algebra geometrica in 2D e in 3D

L'algebra geometrica nacque quando il matematico inglese William Kingdon Clifford, influenzato dal lavoro di Grassmann sul prodotto esterno e dal lavoro di Hamilton sui quaternioni, unificò i due concetti di prodotto interno (prodotto scalare) e prodotto esterno. Questa unificazione fu il grande lascito di Clifford, il quale, a soli 34 anni, morì l'anno dopo aver introdotto la sua fondamentale idea.
Questa parte verrà divisa in 3 parti. Nella prima introdurremo la nozione di prodotto geometrico e presenteremo esplicitamente l'algebra geometrica in 2D con la connessione ai numeri complessi e le rotazioni. Nella seconda parte tratteremo diffusamente dell'algebra geometrica in 3D ed infine nella terza parte ci occuperemo di riflessioni e rotazioni in 3D (e non solo), che sono forse l'aspetto in cui la potenza dell'algebra geometrica emerge in tutto il suo splendore :D

Corso di Algebra geometrica - 2c - Esercizi

2.1
Dimostrare che i seguenti insiemi rappresentano degli spazi vettoriali:
$(a)$ L'insieme di tutti i polinomi di grado $n$;
$(b)$ L'insieme di tutte le matrici $n \times m$;
$(c)$ L'insieme delle soluzioni di una data equazione differenziale lineare omogenea.

Corso di algebra geometrica - 2b - Spazi vettoriali

Nel precedente post si è visto come lo spazio euclideo dei vettori in due dimensioni sia collegabile ai numeri complessi. Il matematico irlandese William Rowan Hamilton volle generalizzare tale discorso per i vettori in tre dimensioni. Così facendo finì per l'inventarsi i quaternioni.

Corso di algebra geometrica - 2a - Spazi vettoriali

In questa seconda parte del corso daremo alcuni rudimenti sui vettori e gli spazi vettoriali in generale. Il materiale presentato in questa parte non dovrebbe risultare nuovo e dovrebbe essere nelle riminiscenze liceali di molti. Tuttavia, saremo alquanto didascalici, nel limite del possibile, per venire incontro anche a chi ha poca conoscenza di questi argomenti.