Corso di algebra geometrica - 2b - Spazi vettoriali

Nel precedente post si è visto come lo spazio euclideo dei vettori in due dimensioni sia collegabile ai numeri complessi. Il matematico irlandese William Rowan Hamilton volle generalizzare tale discorso per i vettori in tre dimensioni. Così facendo finì per l'inventarsi i quaternioni.

Quaternioni

Hamilton, partendo dal fatto che un vettore di componenti ($x,y$) può essere rappresentato dal numero complesso $z=x+iy$, immaginò che un vettore in tre dimensioni, le cui componenti fossero ($x,y,z$), potesse essere rappresentato da una nuova entità del tipo $x+iy+jz$, dove $jz$ rappresenta pertanto un terzo asse perpendicolare all'asse reale e all'asse immaginario del piano bidimensionale. Sia $i$, sia $j$ dovevano avere, sempre in analogia con i numeri complessi, la proprietà $i^2=j^2=-1$. Tuttavia, se uno calcola il modulo per tale numero alla maniera dei numeri complessi ottiene: $$(x+iy+jz)(x-iy-jz)=(x^2+y^2+z^2)-yz(ij+ji).$$ Per recuperare il prodotto scalare, Hamilton quindi era costretto a porre $ij=-ji$, in modo da annullare l'ultimo termine. Se si considera il prodotto di due diversi numeri di questo nuovo tipo, tale condizione è insufficiente a garantire la chiusura dell'algebra. Infatti: $$(a+ib+jc)(x-iy-jz)=ax+by+cz-i(ay-bx)-j(az-cx)-ij(bz-cy).$$ Il porre ora la condizione $ij=-ji$ non è più sufficiente per eliminare il termine in $ij$. L'unica cosa che poteva fare Hamilton a quel punto era porre $ij=k$, dove $k$ era una qualche incognita che bisognava trovare il modo di rimuovere. L'illuminazione gli venne infine passeggiando lungo il Royal Canal. Egli pensò che con l'apparire di questo termine in $k$ fosse obbligato a prendere non una "tripletta" ma una "quadripletta" del tipo $a+ib+jc+kd$. In questo modo Hamilton chiuse l'algebra e... nacquero i quaternioni. Se calcoliamo il modulo di un quaternione, otteniamo: $$(a+ib+jc+kd)(a-ib-jc-kd)=a^2+b^2+c^2+d^2(-k^2)-bd(ik+ki)-cd(jk+ki)$$ dove si è assunto che $i^2=j^2=-1$ e $ij=-ji$. A questo punto per ottenere il modulo atteso $a^2+b^2+c^2+d^2$, bisogna porre le ulteriori condizioni $k^2=-1$ e $ik=-ki$ e $jk=-kj$. Poiché $ij=k$, con queste regole possiamo anche calcolare i valori dei restanti prodotti $ik$ e $jk$:$$ik=i(ij)=(ii)j=i^2j=-j,$$e: $$kj=(ij)j=i(jj)=ij^2=-i.$$ Pertanto le regole di moltiplicazioni tra quaternioni sono date da:$$i^2=j^2=k^2=-1$$ e da $$ij=-ji=k,\;\;jk=-kj=i,\;\; ki=-ik=j$$ che possono essere così riassunte: $i^2=j^2=k^2=ijk=-1.$
Hamilton fu entusiasta della sua scoperta e ottenne di pubblicarla praticamente lo stesso giorno della passeggiata lungo il Royal Canal. Tuttavia, rimanevano aperti alcuni problemi. In primo luogo, vi era ora il problema di identificare i vettori in questa nuova algebra. Hamilton propose che un vettore di componenti ($x,y,z$) fosse rappresentato dal quaternione $ix+jy+kz$ (ed è questo il motivo storico per cui ancora oggi si usano le lettere $i$, $j$ e $k$ come versori, vettori di lunghezza unitaria, di una base in tre dimensioni). A dirla tutta, Hamilton coniò espressamente il termine vettore per identificare questo tipo di quaternione puro (senza il termine scalare). Inoltre vi era un problema nella moltiplicazione tra due quaternioni puri. Essa non restituiva un quaternione puro e quindi un vettore, ma riappariva il termine scalare.
Un ulteriore problema, che si rivelò molto complicato per Hamilton e che decretò, in un certo senso, la "morte" prematura dei quaternioni per la comunità dei fisici, fu l'utilizzo che Hamilton volle fare dei quaternioni per descrivere le rotazioni. Hamilton non intuì che i quaternioni rappresentavano la descrizione di rotazioni di "spin 1/2" in tre dimensioni. In questo fu fuorviato dal fatto che nel caso bidimensionale moltiplicare per l'unità immaginaria $i$ significa ruotare di $\pi/2$, mentre invece le basi dei quaternioni $i$, $j$, $k$ generano rotazioni di $\pi$. Egli cercava per le rotazioni una trasformazione del tipo $a'=Ra$, dove $R$ è un quaternione unitario (di modulo $1$) e $a$ un vettore qualsiasi, mentre la trasformazione reale è del tipo $a'=RaR^*$, che si riduce al caso precedente solo se l'asse di rotazione è perpendicolare al vettore $a$.
Scoraggiati da questi problemi in molti abbandonarono l'uso dei quaternioni e spinti dal fisico statunitense Josiah Gibbs trattarono separatamente la parte scalare dalla parte vettoriale, ed in un certo senso tale tradizione continua ancora oggi in tutte le università del globo.
Tuttavia, nonostante questi insuccessi, uno dei lasciti fondamentali dell'uso dei quaternioni fu proprio il prodotto vettoriale. Infatti, considerando due quaternioni puri $a=a_1i+a_2j+a_3k$ e $b=b_1i+b_2j+b_3k$ il loro prodotto è dato da: $$ab=-(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)+(a_2b_3-a_3b_2)i+(a_3b_1-a_1b_3)j+(a_1b_2-a_2b_1)k = -a_ib_i+c,$$ dove il termine $c=c_1i+c_2j+c_3k$ rappresenta un quaternione puro le cui componenti sono date da: $$c_i=\epsilon_{ijk}a_jb_k,$$ dove $\epsilon_{ijk}$ è definito come: $$\epsilon_{ijk}=\begin{cases}1 & \textit{se ijk sono una permutazione ciclica di ijk}\\-1 & \textit{se ijk sono una permutazione anticiclica di ijk}\\0 & \textit{altrimenti}\end{cases}$$ Per permutazione ciclica (anticiclica) di $ijk$ s'intende una permutazione per la quale è sufficiente un numero pari (dispari) di scambi per ritornare a $ijk$. Quindi $jik$ è una permutazione anticiclica, mentre $kij$ è ciclica.

Nel quaternione puro $c$ riconosciamo il classico prodotto vettoriale dei vettori $a$ e $b$, il quale, è bene ricordarlo, gode delle seguenti proprietà:

• $(i)$: $a \times b$ è perpendicolare al piano contentente i vettori $a$ e $b$
• $(ii)$: $a\times b$ ha modulo pari $|a||b|\sin\theta$, dove $\theta$ è l'angolo compreso tra i due vettori.
• $(iii)$: i vettori $a$, $b$ e $a\times b$ formano una terna destrorsa (vedi in seguito).

Introduciamo anche per i versori della base in tre dimensioni il prodotto vettoriale, in modo che la base sia destrogira, cioè fissiamo: $$e_i\times e_j=\epsilon_{ijk}e_k,$$ possiamo scrivere il prodotto vettoriale dei due vettori $a=a_ie_i$ e $b=b_je_j$ come: $$a\times b = (a_ie_i)\times(b_je_j)=a_ib_j(e_i\times e_j)=\epsilon_{ijk}a_ib_je_k.$$ Il prodotto vettoriale si è rivelato una vera e propria manna dal cielo per i fisici e gli ingegneri, in quanto aiuta a semplicare notevolmente le equazioni. Si pensi ad esempio alle equazioni della meccanica laddove si ha a che fare con momenti angolari o momenti delle forze, oppure alle equazioni di Maxwell dell'elettromagnetismo.

Il prodotto esterno

Il prodotto vettoriale ha un grave difetto. Esiste solo in tre dimensioni. In due dimensioni non abbiamo nessuna direzione ortogonale dove andare e in quattro dimensioni, ad esempio, se prendiamo una base ortonormale ($e_1,e_2,e_3, e_4)$ ci rendiamo subito conto che ogni combinazionel lineare dei vettori $e_3$ e $e_4$ risulta ortogonale al piano definito da $e_1$ e $e_2$. C'è da trovare quindi una qualche forma di generalizzazione del prodotto vettoriale per un numero arbitrario di dimensioni. Tale generalizzazione fu trovata da Hermann Grassmann con il prodotto esterno. Possiamo identificare tale prodotto con la possibilità di "codificare" la porzione di piano (parallelogramma) delimitata da due vettori senza dover far ricorso alla nozione di perpendicolarità rispetto a tale piano. Il risultato del prodotto esterno non risulta quindi né uno scalare, né un vettore, ma viene di solito chiamato bivettore. Dati due vettori $a$ e $b$, il loro prodotto esterno (e quindi il relativo bivettore) è indicato con $a\wedge b$. Il modulo di tale bivettore è dato da $|a||b|\sin\theta$.
Il prodotto esterno gode delle seguente proprietà:

• $(i)$: il prodotto è antisimmetrico: $a\wedge b = -b\wedge a$
Da questa proprietà risulta che $a\wedge a = 0$, per ogni vettore $a$.
• $(ii)$: i bivettori formano uno spazio lineare. La loro addizione è semplice da visualizzare in due o tre dimensioni (vedi figura), mentre risulta meno intuitiva in spazi con più dimensioni.


• $(iii)$: il prodotto esterno è distributivo: $a\wedge(b+c)=a\wedge b + a\wedge c$

È necessaria una piccola precisazione: sebbene sia conveniente dal punto di vista intuitivo considerare il prodotto esterno come un "parallelogramma", la forma finale del prodotto non è in generale immediatamente riconoscibile a partire dai vettori. Infatti se si prendono i vettori $a'=a+\lambda b$ e $b$ e si forma il loro prodotto esterno, si ottiene: $$a'\wedge b=(a+\lambda b)\wedge b = a\wedge b + \lambda b\wedge b = a\wedge b,$$ dalla quale si evince come lo stesso bivettore $a\wedge b$ può essere generato da più vettori.

Prodotto esterno in due e tre dimensioni
In due dimensioni, prendendo due vettori $a=a_ie_i$ e $b=b_je_j$ otteniamo per il loro prodotto esterno: $$a\wedge b = (a_1e_1+a_2e_2)\wedge(b_1e_1+b_2e_2)=a_1b_1e_1\wedge e_1 + a_1b_2e_1\wedge e_2 + a_2b_1e_2\wedge e_1 + a_2b_2 e_2\wedge e_2 = (a_1b_2-a_2b_1)e_1\wedge e_2.$$ Se riprendiamo il post precedente e richiamiamo alla mente la parte immaginaria del prodotto tra $zw^*$ tra due numeri complessi, troviamo che esso ha la stessa forma del prodotto esterno appena considerato. Esso avrà pertanto sicuramente modulo pari $|a||b|\sin\theta$, e il segno del modulo sarà positivo se $a$ e $b$ hanno lo stesso orientamento di $e_1$ e $e_2$.
In tre dimensioni abbiamo che: $$a\wedge b = (a_2b_3-a_3b_2)e_2\wedge e_3 + (a_3b_1-a_1b_3)e_3\wedge e_1+(a_1b_2-a_2b_1)e_1\wedge e_2$$.
Chiralità
Fin ora abbiamo parlato dell'orientamento (destrogiro, sinistrogiro, ecc...) o chiralità dando per scontate troppe cose, che è ora il caso di chiarire. I concetti di destra e sinistra sono convenzioni umane. In tre dimensioni, che è lo spazio che esperiamo quotidianamente, chiunque (o quasi) sa distinguere la destra dalla sinistra ed esso viene implementato in questa maniera: se abbiamo una terna di vettori ortogonali ($e_1,e_2,e_3$) e allineiamo il pollice della mano destra(!) con il vettore $e_3$ e nel chiudere le dita della mano a formare un pugno il verso di tale rotazione è lo stesso della rotazione di $e_1$ verso $e_2$ allora la terna è destrogira. Se uno scambia due qualsiasi di questi vettori allora cambia la chiralità, pertanto un doppio scambio tra vettori fa ritornare la chiralità a quella iniziale.
In spazi con dimensioni diverse da tre, non vi è nessuna definizione di destrogiro sulla quale si possa convenire e tutto ciò che si può fare è adottare una convenzione e rimanere consistenti. Chiaramente anche in questi spazi vale la regola per cui uno scambio tra vettori cambia il segno dell'orientamento. In uno spazio di dimensioni arbitrarie possiamo quindi generalizzare il prodotto esterno $a\wedge b$ tramite la formula: $$(a\wedge b)_{ij}=a_{[i}b_{j]},$$ dove il simbolo $[]$ denota la completa antisimmetrizzazione del prodotto delle componenti dei vettori $a$ e $b$. Ad esempio $a_{[i}b_{j]} = a_ib_j-a_jb_i$
Si può anche estendere il prodotto esterno a più di due vettori. Considerando una base ortonormale, le componenti di un prodotto esterno di $n$ vettori sono dati dai prodotti totalmente antisimmetrizzati delle componenti degli $n$ vettori dati. In questo modo risulta anche che il prodotto esterno è associativo: $a\wedge(b\wedge c)=(a\wedge b)\wedge c = a\wedge b \wedge c$.
Come esempio prendiamo il caso in tre dimensioni: $$a\wedge b \wedge c = (a_ie_i)\wedge (b_je_j) \wedge (c_ke_k)=(\epsilon_{ijk}a_ib_jc_k)e_1\wedge e_2 \wedge e_3.$$ Questo prodotto esterno rappresenta l'elemento di volume orientato formato dai vettori $a$, $b$ e $c$. Una particolarità molto utile del prodotto esterno (la cui verifica viene lasciata per esercizio) è che il prodotto esterno di un insieme di vettori linearmente dipendenti si annulla. In questo modo possiamo algebricamente rendere conto di concetti geometrici come "il vettore $x$ giace nel tale piano" o "due ipersuperfici condividono una stessa linea$, ecc...

Adesso abbiamo tutti i rudimenti necessari per studiare le algebre di Clifford. Il prossimo post tratterà del prodotto geometrico e introdurremo le algebre di Clifford, o meglio le algebre geometriche del piano e dello spazio. Dopodiché tra due lezioni potremmo introdurre in maniera più formale l'algebra geometrica in spazi con dimensioni qualsiasi.