Prima parte - 3a
1 - Verificare che le matrici: $$E_1=\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right); \;\;\;\; E_2=\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix}\right)$$ soddisfano le relazioni della base ($e_1,e_2)$ di $\mathcal{G}_2$ e quindi ne forniscono una rappresentazione matriciale.
2 - Dati in $\mathcal{G}_2$ i multivettori $A = 1+2e_1-e_2+3I$ e $B=-2-e_1+3e_2+I$, calcolare il loro prodotto geometrico $AB$ ed esplicitare la parte scalare, la parte vettoriale e la parte bivettoriale.
Seconda parte - 3b
3 - Costruire la tabella moltiplicativa tra i tre vettori ortonormali $e_1$, $e_2$ e $e_3$. Formano essi un gruppo finito rispetto alla moltiplicazione geometrica?
4 - Provare che le seguenti espressioni sono tutte forme equivalenti per il prodotto vettoriale: $$a\times b = -Ia\wedge b = b\cdot (Ia)=-a\cdot(Ib)$$ Vi è un'interpretazione goemetrica per ognuna di queste forme?
5 - Calcolare $(a\wedge b)^{-1}$
Terza parte - 3c
6 - Mostrare che il rotore: $$R = \frac{1+ba}{|a+b|}$$ può essere scritto come $e^{-B\theta/2}$ dove $B$ è il bivettore unitario nel piano $a\wedge b$ e $\theta$ è l'angolo compreso tra i vettori $a$ e $b$.
7 - Dati due rotori $R_1=e^{-B_1\theta_1/2}$ e $R_2=e^{-B_2\theta_2/2}$ formare il rotore $R=R_2R_1=e^{-B\theta/2}$. Trovare esplicitamente la parte scalare e la parte bivettoriale del rotore $R$. PS: Le relazioni così trovate sono note come formule di Rodriguez
8 - Per descrivere l'orientazione di un corpo rigido nello spazio, il matematico Eulero introdusse tre parametri, noti come angoli di Eulero. Essi servono pure come rappresentazione spaziale di ogni sistema di riferimento $(X,Y,Z)$ tramite la composizione di tre rotazioni a partire da un sistema di riferimento fisso ortonormale $(x,y,z)$. I tre angoli sono rappresentati nella seguente figura:
e sono così definiti:
$\alpha$ è l'angolo tra l'asse $x$ e l'asse $N$
$\beta$ è l'angolo tra l'asse $z$ e l'asse $Z$
$\gamma$ è l'angolo tra l'asse l'asse $N$ e l'asse $X$
Scrivere il rotore corrispondente alla composizione di queste tre rotazioni.
9 - I parametri di Cayley-Klein sono un insieme di quattro numeri reali $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ e $\delta$, per i quali vale la seguente regola di normalizzazione: $$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+\delta^2=1.$$ Essi possono essere utilizzati per parametrizzare un'arbitraria matrice di rotazione nel seguente modo: $$R=\left(\begin{matrix} \alpha^2+\beta^2-\gamma^2-\delta^2 & 2(\beta\gamma+\alpha\delta) & 2(\beta\delta-\alpha\gamma) \\ 2(\beta\gamma-\alpha\delta) & \alpha^2-\beta^2+\gamma^2-\delta^2 & 2(\gamma\delta+\alpha\beta) \\ 2(\beta\delta+\alpha\gamma) & 2(\gamma\delta-\alpha\beta) & \alpha^2-\beta^2-\gamma^2+\delta^2 \end{matrix}\right);$$ Cosa rappresentano questi parametri se descriviamo le rotazioni tramite i rotori?
1 - Verificare che le matrici: $$E_1=\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right); \;\;\;\; E_2=\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix}\right)$$ soddisfano le relazioni della base ($e_1,e_2)$ di $\mathcal{G}_2$ e quindi ne forniscono una rappresentazione matriciale.
2 - Dati in $\mathcal{G}_2$ i multivettori $A = 1+2e_1-e_2+3I$ e $B=-2-e_1+3e_2+I$, calcolare il loro prodotto geometrico $AB$ ed esplicitare la parte scalare, la parte vettoriale e la parte bivettoriale.
Seconda parte - 3b
3 - Costruire la tabella moltiplicativa tra i tre vettori ortonormali $e_1$, $e_2$ e $e_3$. Formano essi un gruppo finito rispetto alla moltiplicazione geometrica?
4 - Provare che le seguenti espressioni sono tutte forme equivalenti per il prodotto vettoriale: $$a\times b = -Ia\wedge b = b\cdot (Ia)=-a\cdot(Ib)$$ Vi è un'interpretazione goemetrica per ognuna di queste forme?
5 - Calcolare $(a\wedge b)^{-1}$
Terza parte - 3c
6 - Mostrare che il rotore: $$R = \frac{1+ba}{|a+b|}$$ può essere scritto come $e^{-B\theta/2}$ dove $B$ è il bivettore unitario nel piano $a\wedge b$ e $\theta$ è l'angolo compreso tra i vettori $a$ e $b$.
7 - Dati due rotori $R_1=e^{-B_1\theta_1/2}$ e $R_2=e^{-B_2\theta_2/2}$ formare il rotore $R=R_2R_1=e^{-B\theta/2}$. Trovare esplicitamente la parte scalare e la parte bivettoriale del rotore $R$. PS: Le relazioni così trovate sono note come formule di Rodriguez
8 - Per descrivere l'orientazione di un corpo rigido nello spazio, il matematico Eulero introdusse tre parametri, noti come angoli di Eulero. Essi servono pure come rappresentazione spaziale di ogni sistema di riferimento $(X,Y,Z)$ tramite la composizione di tre rotazioni a partire da un sistema di riferimento fisso ortonormale $(x,y,z)$. I tre angoli sono rappresentati nella seguente figura:
e sono così definiti:
$\alpha$ è l'angolo tra l'asse $x$ e l'asse $N$
$\beta$ è l'angolo tra l'asse $z$ e l'asse $Z$
$\gamma$ è l'angolo tra l'asse l'asse $N$ e l'asse $X$
Scrivere il rotore corrispondente alla composizione di queste tre rotazioni.
9 - I parametri di Cayley-Klein sono un insieme di quattro numeri reali $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ e $\delta$, per i quali vale la seguente regola di normalizzazione: $$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+\delta^2=1.$$ Essi possono essere utilizzati per parametrizzare un'arbitraria matrice di rotazione nel seguente modo: $$R=\left(\begin{matrix} \alpha^2+\beta^2-\gamma^2-\delta^2 & 2(\beta\gamma+\alpha\delta) & 2(\beta\delta-\alpha\gamma) \\ 2(\beta\gamma-\alpha\delta) & \alpha^2-\beta^2+\gamma^2-\delta^2 & 2(\gamma\delta+\alpha\beta) \\ 2(\beta\delta+\alpha\gamma) & 2(\gamma\delta-\alpha\beta) & \alpha^2-\beta^2-\gamma^2+\delta^2 \end{matrix}\right);$$ Cosa rappresentano questi parametri se descriviamo le rotazioni tramite i rotori?
Nell'esercizio 3 non mi è chiara una cosa. Si chiede la tabella dei prodotti dei soli vettori della base dello spazio o quella formata dalla base di $\mathcal{G}_3$?
RispondiEliminaPS Nell'esercizio 9 "Cayley" non "Caylely".
Partendo da $Ie_1=e_2e_3$ secondo te quale delle due opzioni forma gruppo? ;)
EliminaBeh, anche prendendo solo il bivettore $e_2e_3$ già il primo insieme non è chiuso, quindi la seconda. E' che, appunto, mi pareva banale come esercizio. :P
EliminaNell'esercizio 4 le dimostrazioni delle formule sono andate lisce (ho dovuto fare un po' di conti almeno nel modo come ho fatto io). Tuttavia non riesco a capire quali siano le intepretazioni geometriche negli ultimi due casi.
RispondiEliminaQuesta $-Ia\wedge b$ la possiamo intendere come la proiezione di $I$ sul bivettore $a\wedge b$, per le altre, visto che non siamo sotto esame, hai qualche aiutino? :D
Prendiamo l'ultima.
Elimina$Ib$ è il duale di $b$ e quindi è il piano ortogonale a b. Dopodiché abbiamo un dot product e cosa rappresenta il dot product tra un vettore e un bivettore? ;)
Idem per la terza...
Beh è un vettore. La proiezione di a sul piano ortogonale a b ruotata di 90° e dilatata secondo il modulo del bivettore $Ib$.
EliminaDunque stasera sono libero e posso fare questi esercizi tranquillamente. Ci sarebbe un piccolo chiarimento teorico riguardante il quesito 6. Quando noi abbiamo definito $B=\frac{m\wedge n}{\sin\theta}\;\;\;\;\;B^2=-1$
RispondiEliminaabbiamo detto che:
$R=nm=\cos\theta + n\wedge m=\cos\theta + \sin\theta B=e^{-B\theta}$
Poi abbiamo notato che questa è una rotazione di $2\theta$ quindi bisogna usare $\frac{\theta}{2}$. Ora nella definizione di $B$ il seno resta sempre di $\theta$ altrimenti non è più vero che $B^2=-1$. Giusto?
Nella seconda uguaglianza della seconda serie di equazione il segno era "-".
EliminaNo.
EliminaPerché se vogliamo una rotazione di $\theta$ prenderemo $m$ e $n$ in modo che l'angolo fra essi sia $\theta/2$ (se rimanesse sempre $\theta$ avremmo sempre una rotazione di $2theta$. E quindi sarà $m\cdot n=\cos\frac{\theta}{2}$ e soprattutto:
$$(m\wedge n)^2 = -\sin^2\frac{\theta}{2}$$.
Pertanto nella definizione di $B$ ci va messo un $\sin\theta/2$...
In poche parole nella definizione di $B$ ci va messo sempre metà dell'angolo di rotazione....
Però così non mi quadra la dimostrazione, ti faccio vedere e così mi dici dove ho fatto casino. (Rompo troppo vero? Però la colpa è tua che hai fatto il corso :P)
EliminaHo fatto così:
$R = \frac{1+ba}{|a+b|} = \frac{1+b\cdot a}{|a+b|}-\frac{a\wedge b}{|a+b|}$
Il primo addendo con un paio di operazioni trigonometriche diventa $cos\frac{\theta}{2}$.
Per il secondo abbiamo:
$\frac{a\wedge b}{|a+b|} = \frac{a\wedge b}{2cos\frac{\theta}{2}} = \frac{sin\frac{\theta}{2} a\wedge b}{2sin\frac{\theta}{2}cos\frac{\theta}{2}} = \frac{sin \frac{\theta}{2} a\wedge b}{sin \theta}$
e come vedi alla fine manca il mezzo al denominatore...
Attenzione... tu stai scambiando i vettori $a$ e $b$ con i vettori $m$ e $n$ nella definizione del rotore, mentre il rotore
Elimina$$R = \frac{1+ba}{|a+b|}$$
è quello che ruota il vettore $a$ nel vettore $b$. Pertanto corrisponde ad una rotazione di un angolo $\theta$ nel piano definito dai due vettori. Ora tale rotore si ottiene da $bn$, dove $n$ è il vettore unitario half-way tra $a$ e $b$.. e come puoi scrivere $bn$ con la solita formula del prodotto geometrico? ;)
PS: La formula che tu proponi è giusta ma se al denominatore vi è $\sin\theta$ cosa vi è sopra? Vi è $a\wedge b$ e il suo modulo sappiamo che è $\sin(\theta)$ e quindi si cancella con il denominatore lasciandoci solo quel $\sin\theta/2$ sopra che è quello che vogliamo...
EliminaVero, però noi non dobbiamo fare venire solo $\sin\theta/2$, ma dobbiamo fare spuntare $B\sin\theta/2$ dove B è il piano rispetto a cui ruoto che è $a\wedge b$, altrimenti non lo posso scrivere in forma esponenziale.
EliminaAnzi per essere precisi, se ho capito bene la questione, $B=\frac{a\wedge b}{\sin\frac{\theta}{2}}$.
EliminaAllora a te deve venire un $B\sin\theta/2$. Ed è quello che ti viene.
EliminaIn questo caso è esattamente:
$$B = \frac{a\wedge b}{\sin\theta}=\frac{n\wedge b}{\sin\theta/2}$$
Capito l'inghippo ora?
Ok ora è chiaro. Io pensavo che B dovesse essere individuato necessariamente dai vettori a e b, ma giustamente anche n appartiene allo stesso piano e si trova a metà angolo, che è proprio quello che serviva a me. Devo ammettere, però, che in questo caso la spiegazione era un po' criptica, almeno per quanto mi riguarda.
EliminaProvo a chiarire, se ci riesco.
EliminaL'importante che B sia il bivettore unitario che rappresenti il piano di rotazione, che non a caso viene chiamato generatore della rotazione.
A quel punto lo puoi individuare con infiniti vettori.
Se uno parte dalla formula:
$$R = \frac{1+ba}{|b+a|}$$ arriverà appunto a scrivere seguendo i tuoi calcoli:
$$R = \cos\theta/2 - \sin\theta/2\frac{a\wedge b}{\sin\theta} = \cos\theta/2 - B\sin\theta/2 = e^{-B\theta/2}$$,
che era quello che l'esercizio richiedeva.
PS: Per mia indole sono contraria a pubblicare le soluzioni degli esercizi, perché secondo me bisogna essere ultraconvinti delle proprie soluzioni... e non bisogna cercare conforti in soluzioni altrui (e poi in the real life non esistono le soluzioni, bisogna trovarle)...
sono contrario
EliminaHey, per un attimo avevi acceso un campanellino. Poi ti sei corretto... Spero non soffri di split personality anche perchè non è la prima volta, ti è successo pure sul blog di Odifreddi.
Eliminavolevo scrivere sono d'opinione contraria.... è sparito il "d'opinione"... d'altronde le opinioni stanno a zero :D
EliminaSe uno applica le formule di Rodriguez per ruotare un vettore in 3D si ottiene questa formula?
RispondiEliminaQuella è una versione molto compatta delle formule di Rodriguez... non chiedevo di arrivare a tanto (anche se a vedere bene non ci vuole molto lavorando di trigonometria)... ma ad una formula esplicita che metta in relazione il coseno e il seno di $\theta$ con i coseni e i seni di $\theta_1$ e $\theta_2$...
EliminaSi l'ho ottenuta facile facile, ma è che quella la conoscevo già.
EliminaQui la puoi vedere all'opera :P
PS
Se manca qualche dll devi installare questo pacchettino.
Hey Tony ma con l'algebra geometrica abbiamo fatto la pausa estiva? o sei troppo impegnato?
RispondiElimina