Corso di Algebra geometrica - 3c - Algebra geometrica in 2D e in 3D

Per affrontare il discorso sulle rotazioni in 3D partiremo con il considerare le riflessioni. Per riflessione intenderemo il prendere un vettore $a$ e rifletterlo rispetto al piano ortogonale ad un vettore unitario $n$. In 3D sappiamo che, dato un piano, esiste sempre una e una sola direzione ad esso ortogonale. Tuttavia, come vedremo tale discorso si generalizza facilmente a casi con più dimensioni, perché le uniche operazioni che faremo coinvolgono soltanto il vettore unitario $n$ e quindi avremo riflessioni rispetto ad iperpiani. Le rotazioni seguiranno quindi considerando due successive riflessioni e la loro composizione risulterà in rotazioni rispetto ad un piano definito da un bivettore. In questo senso le rotazioni in algebra geometrica si intendono sempre come rotazioni rispetto ad un certo bivettore e viene meno la necessità di definire un asse di rotazione e quindi spariscono i problemi dovuti alle differenze tra vettori assiali e vettori polari. Quelli che hanno studiato meccanica o elettromagnetismo sono ben consci delle difficoltà (alle quali spesso solo la pratica abitua) nel considerare grandezze fisiche come il momento angolare (sia in meccanica classica che in meccanica quantistica), i momenti delle forze o il campo magnetico. Queste grandezze sono di solito chiamate pseudovettori in letteratura. La difficoltà consiste nel fatto che uno pseudovettore si trasforma come un vettore nelle rotazioni proprie ma cambia di segno per rotazioni improprie come le riflessioni. Prima di cominciare con la discussione delle riflessioni, cominciamo con alcune convenzioni per aiutarci a scrivere le espressioni matematiche in maniera ancora più agevole in algebra geometrica. Facciamo questo anche per chiarire un po' le idee sulle terminologie e sul modus operandi nell'algebra geometrica.

Alcune convenzioni sulle notazioni

Utilizzeremo alcune convenzioni per scrivere espressioni come $(a\cdot b)c$ e $I(a\wedge b)$ senza ambiguità eliminando il dover far ricorso a parentesi. La convenzione che si adotta è che, in assenza di apposite parentesi che indicano diverse precedenze, il prodotto interno e il prodotto esterno sono da eseguirsi prima del prodotto geometrico. Quindi possiamo scrivere: $$(a\cdot b)c = a\cdot b\;c;\;\;\;\;\;I(a\wedge b)=Ia\wedge b.$$ Inoltre, laddove non espressamente indicato da parentesi, il prodotto interno si esegue prima del prodotto esterno: $$a\cdot b\;c\wedge d = (a\cdot b)c\wedge d.$$ Abbiamo già visto l'uso dell'espressione $\langle M \rangle_r$ per indicare gli elementi di grado $r$ del multivettore $M$. Usando questa notazione possiamo scrivere: $$a\wedge b = \langle a\wedge b\rangle_2= \langle ab\rangle_2.$$ L'utilità di questa convenzione consiste nel sostituire il prodotto interno e il prodotto esterno con il prodotto geometrico, più facile da manipolare, e poi proiettare sul grado desiderato. L'operazione consistente nel prendere la parte scalare di un multivettore verrà sempre indicata con $\langle M \rangle$ senza indicare il grado $0$ come pedice espressamente. La parte scalare di ogni moltiplicazione tra multivettori è simmetrica: $$\langle AB \rangle = \langle BA \rangle.$$ Da questo segue la proprietà di riordino ciclico per la parte scalare che risulta molto utile nelle manipolazioni algebriche: $$\langle AB \cdots C\rangle = \langle B \cdots CA\rangle.$$ Una importante operazione nell'algebra geometrica è quella di inversione che consiste nell'invertire l'ordine di tutti i multivettori in un prodotto. Di solito questa operazione viene indicata con due simboli. Il primo è il simbolo $\dagger$, utilizzato come $A^\dagger$, il secondo è indicare tale operazione con una $\tilde{}$ in questo modo $\tilde{A}$. Di solito nell'algebra geometrica non applicata si usa il primo simbolo, mentre il secondo viene di solito indicato soprattutto nelle applicazioni dell'algebra geometrica allo spaziotempo minkowskiano e nella teoria dei campi per evitare confusioni con l'operazione di coniugazione hermitiana. In questa parte useremo solo il primo simbolo. Scalari e vettori sono invarianti per inversioni, mentre i bivettori della base cambiano segno. Ad esempio: $$(e_1e_2)^\dagger=e_2e_1 = -e_1e_2.$$ Notiamo inoltre che: $$I^\dagger = (e_1e_2e_3)^\dagger = e_3e_2e_1 = -e_3e_1e_2 = e_1e_3e_2=-e_1e_2e_3=-I,$$ e che quindi per il generico multivettore di $\mathcal{G}_3$: $$M = \alpha + a + B + \beta I,$$ risulta: $$M^\dagger = \alpha + a - B -\beta I.$$ Specifichiamo anche alcune convenzioni di tipo nominalistico. I multivettori che contengono termini di un solo grado sono chiamati omogenei. Il termine prodotto interno dovrebbe (ma non tutti mantengono questa convenzione) essere utilizzato per la parte con grado più basso di un prodotto geometrico di due multivettori omogenei. Per due multivettori omogenei di stesso grado, quindi, il prodotto interno e il prodotto scalare si riducono alla stessa cosa. Il prodotto interno e il prodotto esterno sono noti colloquialmente anche con i nomi di dot product e di wedge product. Come già detto precedentemente, chiameremo con il termine pseudoscalare l'elemento più alto in grado di un'algebra. Un termine equivalente utilizzato è quello di elemento di volume orientato. Armati di queste convenzioni iniziamo il nostro studio sulle riflessioni.

Riflessioni
Prendendo un certo vettore $a$ e un vettore unitario $n$ ($n^2=1$), possiamo scomporre $a$ nelle componenti parallele e perpendicolari al vettore $n$. Questo si ottiene semplicemente osservando che: $$a=n^2a=n(na)=n(n\cdot a + n\wedge a) = n\cdot a\;n + n\;n\wedge a = a_\parallel + a_\perp$$ Che $a_\parallel = n\cdot a\; n$ sia parallelo a $n$ è lapalissiano, ma è semplice verificare che $a_\perp$ risulta perpendicolare a $n$ effettuando il prodotto scalare tra i due vettori: $$n\cdot a_\perp = n\cdot (n\;n\wedge a) = \langle nn\;n\wedge a \rangle = \langle n\wedge a\rangle = 0$$ In quest'ultima operazione abbiamo visto subito all'opera l'operazione di proiezione su un determinato grado e la facilità di calcolo sostituendo i prodotti interni ed esterni con i prodotti geometrici.
Avendo scomposto $a$ nelle componenti parallele e ortogonali al vettore $n$, riflettere $a$ rispetto al piano ortogonale a $n$ significa ottenere il vettore $a'=a_\perp - a_\parallel$, così come mostrato in figura:

PS: La figura potrebbe confendere. Il vettore $a'$ non è nel piano ma è dall'altra parte rispetto al piano!!!

Pertanto risulta: $$a'=a_\perp-a_\parallel = n\;n\wedge a - a\cdot n\;n=-n\cdot a\;n-n\wedge a\;n=-(n\cdot a + n\wedge a)n=-nan$$ La formula ora trovata è valida in spazi di dimensioni generali. Possiamo verificare che la formula così trovata non cambia lunghezze e angoli. Per farlo basta constatare che essa non cambia il prodotto scalare tra due vettori quando questi sono entrambi riflessi: $$(-nan)\cdot (-nbn)=\langle (-nan)(-nbn) \rangle=\langle nabn \rangle = \langle abnn \rangle = a\cdot b,$$ nella quale abbiamo usato la proprietà del riordino ciclico.

Riflessione di un bivettore
Supponiamo di formare il bivettore $B=a\wedge b$ e di riflettere entrambi questi vettori rispetto al piano perpendicolare ad un vettore $n$. Il risultato per $B$ sarà: $$B' = (-nan)\wedge (-nbn),$$ il quale con semplici manipolazioni risulta: $$(-nan)\wedge (-nbn)=\frac{1}{2}(nannbn-nbnnan)=\frac{1}{2}n(ab-ba)n=nBn.$$ Come vedremo nel prossimo capitolo l'effetto di moltiplicare un multivettore $M$ a destra e sinistra per un vettore $n$ preserva sempre il grado del multivettore $M$. Per ora ci limitiamo ad osservare che la legge di trasformazione per i bivettori è la stessa per quella dei vettori eccetto un cambio di segno. È questa l'origine della distinzione tra vettori polari e vettori assiali che si riscontra in tutta la fisica. I vettori assiali sono di solito generati da prodotti vettoriali e come abbiamo visto esso genera un vettore che è collegato ad un bivettore tramite un'operazione di dualità Tuttavia, quando i due vettori che formano il prodotto esterno vengono entrambi riflessi essi si trasformano con l'ultima legge che abbiamo trovato. Il vettore duale $IB$ è soggetto alla stessa legge di trasformazione, poiché: $$I(nBn)=n(IB)n$$ e quindi non si trasforma come un vettore (polare). Adesso che abbiamo vettori e bivettori vediamo come questo discenda naturalmente dal formalismo dell'algebra geometrica e possiamo lasciar perdere i vettori assiali e concentrarci su vettori e bivettori, poiché tutti gli esempi di vettori assiali nella fisica, dalla velocità angolare al momento angolare, dal momento di una forza al campo magnetico si inquadrano meglio come bivettori.

Riflessione di un trivettore
L'ultimo oggetto che dobbiamo provare a riflettere è il trivettore $a\wedge b\wedge c$ per il quale abbiamo che: $$(-nan)\wedge (-nbn) \wedge (-ncn) =\langle (-nan)(-nbn)(-ncn) \rangle_3 = -\langle nabcn\rangle_3.$$ Infatti l'unica maniera per formare un trivettore dal prodotto geometrico di tre vettori è attraverso il prodotto esteriore dei tre vettori. Il prodotto $abc$ può contenere soltanto una parte vettoriale e una parte trivettoriale e la parte vettoriale non può originare un trivettore, pertanto abbiamo che: $$(-nan)\wedge (-nbn) \wedge (-ncn) = -\langle na\wedge b\wedge cn\rangle_3.$$ Come si è visto precedentemente un trivettore in 3D è semplicemente un multiplo dello pseudoscalare $I$, il quale commuta con tutti i vettori, e quindi possiamo concludere che: $$(-nan)\wedge (-nbn)\wedge (-ncn) = -a\wedge b \wedge c.$$ Quindi l'effetto di una riflessione su un trivettore è semplicemente il suo cambio di segno, il che significa anche che se una terna destrogira è riflessa rispetto a qualche piano, la risultante terna sarà sinistrogira (e viceversa). Un'altra maniera per dire questo è dire che le riflessioni hanno determinante pari a $-1$.

Rotazioni
Per discutere le rotazioni partiremo dal fatto che una rotazione rispetto ad un piano generato da due vettori $m$ e $n$ è ottenuta da due successive riflessioni rispetto ai piani (o iperpiani in più dimensioni) ortogonali ai vettori unitari $m$ e $n$. Questo è illustrato nella seguente figura:

Supponendo che $m\cdot n = \cos\theta$, ovvero che sia $\theta$ l'angolo formato da $m$ e $n$, vediamo che la prima riflessione rispetto al piano ortogonale a $m$ trasforma il vettore di partenza $a$ nel vettore $b=-mam$, e la seconda riflessione, questa volta rispetto al piano ortogonale a $n$, trasforma il vettore $b$ nel vettore finale $c=-nbn$. È lasciato come esercizio il verificare che tale doppia riflessione non influenza nessuna componente di $a$ perpendicolare al piano $m\wedge n$ e che con semplici calcoli trigonometrici l'angolo tra il vettore iniziale $a$ e il vettore finale $c$ è il doppio dell'angolo formato dai vettori $m$ e $n$, cioè è $2\theta$. Combinando le due riflessioni otteniamo che: $$c=-nbn=-n(-mam)n=nmamn.$$ Se definiamo $R=nm$ otteniamo quindi che: $$c=RaR^\dagger$$ La trasformazione che abbiamo trovato $a\rightarrow RaR^\dagger$ è valida in qualsiasi tipo di spazio (considerato che la dimensionalità dello spazio non è stata mai menzionata nel derivarla). Ed è una legge alquanto semplice da ricordare. Vediamo ora di studiare le proprietà dell'oggetto $R=nm$.

Rotori
L'oggetto $R=nm$ viene chiamato rotore in algebra geometrica e si fa apprezzare in quanto vediamo chiaramente all'opera la potenza del prodotto geometrico tra vettori. Per studiare le proprietà del rotore, osserviamo che: $$R=nm=n\cdot m + n\wedge m=\cos\theta + n\wedge m.$$ Precedentemente si è calcolato il quadrato di un bivettore, ed avevamo che: $$(n \wedge m)^2=-\sin^2\theta$$ Pertanto definendo il bivettore unitario $B$ nel piano $m\wedge n$ come: $$B=\frac{m\wedge n}{\sin\theta}\;\;\;\;\;B^2=-1,$$ dove si è scelto l'orientazione $m\wedge n$ invece di $n\wedge m$ per assicurarci che l'orientazione della rotazione sia la stessa di quella dei vettori $m$ e $n$ che la generano (con riferimento alla figura precedente). Pertanto possiamo scrivere il nostro rotore $R$ come: $$R = \cos\theta - B\sin\theta,$$ la quale ci ricorda la decomposizione polare di un numero complesso, con il bivettore unitario $B$ al posto dell'unità immaginaria $i$. Pertanto possiamo scrivere che: $$R = e^{-B\theta},$$ con l'esponenziale definito dalla sua serie di potenze come al solito.
Ricordiamo ora che la formula da noi data genera rotazioni di angolo $2\theta$, pertanto se si vuole ruotare di un angolo $\theta$, la formula appropriata per il rotore sarà data da: $$R=e^{-B\theta/2},$$ e quindi la legge di trasformazione per la rotazione di un vettore è data da: $$a\rightarrow a'=e^{-B\theta/2}ae^{B\theta/2}.$$ Questa legge ci dà quindi una rotazione di un angolo $\theta$ rispetto al piano definito da $B$ con orientamento dato dall'orientamento di $B$. Questa descrizione delle rotazioni ci incoraggia a vederle come rotazioni rispetto ad un piano piuttosto che la più tradizionale idea delle rotazioni che avvengono rispetto ad un asse, essendo quest'ultima un concetto che è valido solo in tre dimensioni ma non è generalizzabile a dimensioni più alte.
Osserviamo anche: $$RR^\dagger=nm(nm)^\dagger=nmmn=1=mnnm=(nm)^\dagger nm=R^\dagger R,$$ mediante la quale possiamo verificare che le rotazioni così come le abbiamo definite conservano lunghezze e angoli: $$a'\cdot b'=\frac{1}{2}(RaR^\dagger RbR^\dagger + RbR^\dagger RaR^\dagger)= \frac{1}{2}R(ab+ba)R^\dagger=a\cdot b.$$ Possiamo anche vedere che la trasformazione inversa è data semplicemente da: $$a=R^\dagger a' R,$$ in quanto $a=R^\dagger a' R = R^\dagger RaR^\dagger R = a$. L'utilità del rotore è una giustificazione più che ampia per quella che a prima vista sembra insensato come l'addizione di termini di diverso grado quali scalari e bivettori. Il rotore $R$ non ha di per sé un qualche significato geometrico, ovvero non ha senso attribuire un significato geometrico alla sua parte scalare e alla sua parte bivettoriale, tuttavia quando esso è scritto come $R=e^{-B\theta/2}$, il bivettore $B$ ha un chiaro significato geometrico così come ce l'ha il vettore trasformato $a'=RaR^\dagger$. Nell'algebra geometrica vediamo pertanto che gli oggetti che hanno un significato geometrico hanno un grado specifico mentre gli operatori che agiscono su di loro hanno di solito gradi misti. In più entrambi, elementi e operatori, fanno parte della stessa algebra.
Supponendo che si voglia ruotare il vettore unitario $a$ in un altro vettore unitario $b$ lasciando tutti i vettori perpendicolari ad $a$ e $b$ inalterati, questa rotazione può essere ottenuta effettuando dapprima una riflessione rispetto al piano perpendicolare al vettore unitario $n$ che si trova a metà strada tra $a$ e $b$, seguita da una riflessione rispetto al piano perpendicolare a $b$. Il vettore $n$ è dato da: $$n=\frac{a+b}{|a+b|},$$ ed esso riflette il vettore $a$ nel vettore $-b$, ed in seguito una riflessione rispetto al piano perpendicolare a $b$ porta $-b$ in $b$. Il rotore finale è dato da: $$R=bn=\frac{1+ba}{|a+b|}=\frac{1+ba}{\sqrt{2(1+b\cdot a)}},$$ il quale rappresenta una semplice rotazione rispetto al piano $a\wedge b$. Questa formula ci mostra ora che: $$Ra=\frac{a+b}{\sqrt{2(1+b\cdot a)}}=a\frac{1+ab}{\sqrt{2(1+b\cdot a)}}=aR^\dagger,$$ dalla quale segue che $RaR^\dagger=R^2a=aR^{{\dagger}^2}$. Pertanto per i vettori che giaciono nel piano di rotazione abbiamo una legge di trasformazione che si semplifica alquanto. Infatti, poiché $R^2=e^{-B\theta}$, la formula di trasformazione diventa: $$a\rightarrow a'=e^{-B\theta}a=ae^{B\theta},$$ la quale è la stessa trasformazione che abbiamo trovato nel caso 2D usando i numeri complessi. Questa è un'altra delle origini delle confusioni che ebbe Hamilton nell'usare i quaternioni per caratterizzare le rotazioni, in quanto egli pensava che le rotazioni dovessero avere, in analogia al caso 2D, delle trasformazioni del tipo $a\rightarrow Ra$, con l'angolo totale di rotazione che apparisse come argomento dell'esponenziale. Tuttavia ora osserviamo che tale formula ha validità solo per i vettori che giacciono nel piano di rotazione e che la corretta formula di rotazione è la formula con il prodotto a destra e sinistra e con metà dell'angolo come argomento dell'esponenziale. Da questo si osserva anche che i bivettori che rappresentavano le basi dei quaternioni di Hamilton, ovvero i bivettori del tipo: $$e_1e_2=e^{e_1e_2\pi/2}$$ sono i generatori delle rotazioni di angolo $\pi$ e non $\pi/2$.

Rotazioni di multivettori
Supponiamo di prendere un bivettore $E = c\wedge d$ e voler ruotare i due vettori. Troviamo come cambia il bivettore $E$: $$E' = c'\wedge d'=\frac{1}{2}(RcR^\dagger RdR^\dagger - RdR^\dagger RcR^\dagger)=\frac{1}{2}R(cd-dc)R^\dagger = Rc\wedge dR^\dagger = RER^\dagger,$$ la quale ci dice che per ruotare i bivettori possiamo usare la stessa formula che usiamo per ruotare i vettori. Questo risultato mostreremo che è valido per qualsiasi multivettore e che quindi la legge di trasformazione per le rotazioni è sempre la stessa!
Inoltre, ricordando che lo pseudoscalare $I$ in 3D commuta con tutti i vettori, osserviamo che: $$RIR^\dagger = IRR^\dagger=I,$$ e che pertanto la rotazione di un qualsiasi trivettore lascia immutato il trivettore in questione. Un modo alternativo di dire questo è che le rotazioni hanno determinante uguale a $+1$.

Composizione di rotazioni
Supponiamo di voler comporre due rotazioni individuate dai rotori $R_1$ e $R_2$. Partendo dal vettore $a$ arriviamo pertanto prima al vettore $b=R_1aR_1^\dagger$ e successivamente al vettore $c=R_2bR_2^\dagger$. Pertanto il vettore finale è dato da: $$c=R_2bR_2^\dagger=R_2R_1aR_1^\dagger R_2^\dagger = R_2R_1a(R_2R_1)^\dagger,$$ ovvero ponendo $R=R_2R_1$ la legge di trasformazione è data da: $$c=RaR^\dagger.$$ Questa è la legge di combinazione dei rotori. I rotori formano un gruppo rispetto alla moltiplicazione, in quanto la loro moltiplicazione risulta in un altro rotore, come può essere verificato da: $$R_2R_1(R_2R_1)^\dagger=R_2R_1R_1^\dagger R_2^\dagger=R_2R_2^\dagger = 1.$$ In tre dimensioni il fatto che il multivettore $R$ contenga solo elementi di grado pari (scalari e bivettori) e soddisfi la legge $RR^\dagger=1$ è sufficiente ad assicurarci che $R$ sia un rotore. Il fatto che i rotori formino un gruppo continuo (i cosidetti gruppi di Lie) è di capitale importanza per il loro utilizzo nella teoria dei campi quantistici e per lo studio della simmetria del modello standard $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$.
Vediamo ora un'inaspettata conseguenza della legge di composizione dei rotori. Supponiamo di tener fisso il rotore $R_1$ e poniamo $R_2=e^{-B\theta/2}$. Facciamo fare al vettore $c$ una rotazione di $2\pi$ per ritornare a sé stesso. Il vettore finale sarà quindi: $$R=R_2R_1=e^{-B\pi}R_1=(\cos\pi - B\sin\pi)R_1=-R_1,$$ ovvero il rotore finale cambia di segno per una rotazione di $2\pi$. Questo fenomeno è collegabile direttamente a quanto si osserva in meccanica quantistica se si ruota di $2\pi$ uno stato fermionico (particella di spin 1/2) e il corrispondente stato risulta con un segno "-" davanti. Anche in questo caso vediamo come $\mathcal{G}_3$ ha già in sé, dal punto di vista geometrico, le "codifiche" per gli stati di spin 1/2 così come visto con le matrici di Pauli.
Tuttavia, vi è una differenza geometrica tra $R$ e $-R$ e consiste nella direzione in cui la rotazione viene effettuata. Prendiamo un rotore per una rotazione di un angolo $\theta$ nel piano $e_1\wedge e_2$: $$R(\theta)=e^{-e_1e_2\theta/2}$$ Se ruotiamo di $\pi/2$ in verso antiorario (portando quindi $e_1$ in $e_2$) otteniamo: $$R(\pi/2)=e^{-e_1e_2\pi/4}=\cos(\pi/4)-e_1e_2\sin(\pi/4)=\frac{1}{\sqrt{2}}(1-e_1e_2),$$ mentre se ruotiamo di di $3\pi/2$ in verso orario si ha: $$R(-3\pi/2)=-\frac{1}{\sqrt{2}}(1-e_1e_2)=-R(\pi/2),$$ in modo che pur codificando lo stesso tipo di rotazione, $R(\pi/2)$ e $-R(\pi/2)$, codificano attraverso il loro segno il diverso verso delle rotazioni effettuate.

Con questo abbiamo terminato la nostra discussione dell'algebra geometrica in 3D, avendo visto anche le operazioni di riflessioni e soprattutto di rotazione e alcune sue proprietà. Il prossimo appuntamento sarà con gli esercizi per questa parte. Dopodiché partiremo con un post in cui presenteremo l'algebra geometrica in maniera più assiomatica, ripetendo molti dei risultati già visti nel caso 2D e 3D e generalizzando il tutto a spazi di dimensioni e segnatura qualsiasi.