Corso di Algebra geometrica - 3b - Algebra geometrica in 2D e in 3D

Dopo aver visto l'algebra in due dimensioni, affrontiamo ora l'algebra geometrica dello spazio tridimensionale. Essa, già per il fatto che lo spazio tridimensionale è ciò che quotidianamente viviamo, è un'algebra molto interessante che ci permetterà di introdurre molti strumenti matematici che verranno utilizzati anche in seguito. Inoltre, l'algebra $\mathcal{G}_3$ è un ottimo strumento per risolvere e studiare una miriade di problemi sia geometrici sia di meccanica classica, in quanto essa descrive scalari, vettori, piani, volumi oltre alle operazioni su di essi, come riflessioni e rotazioni in un'unica algebra.

Prodotto tra vettori e bivettori
Nel caso tridimensionale, quindi, bisogna aggiungere un terzo vettore $e_3$ al precedente insieme bidimensionale ($e_1,e_2$). Assumeremo come al solito che i tre vettori siano ortogonali e quindi anticommutino tra loro. Da questa base possiamo generare tre bivettori indipendenti: $$e_1e_2;\;\;\;\;e_2e_3;\;\;\;\;e_3e_1,$$ che rappresentano tre piani indipendenti che possiamo trovare nello spazio che contengano le linee di $e_1$, $e_2$ e $e_3$. Vi è ora un ulteriore prodotto da considerare, cioè il prodotto dei tre vettori della base $e_1e_2e_3$. Questo è un oggetto di grado $3$, chiamato anche trivettore e rappresenta pertanto l'elemento di volume orientato ed è anche l'oggetto di più alto grado che possiamo formare in quest'algebra. Pertanto tutti gli elementi dell'algebra sono generati dalla seguente base: $$1 \textit{ (1 scalare);}\;\;\;\;e_1,e_2,e_3 \textit{ (3 vettori);}\;\;\;\;e_1\wedge e_2, e_2\wedge e_3, e_3\wedge e_1 \textit{ (3 bivettori)};\;\;\;\;e_1e_2e_3 \textit{ (1 trivettore).}$$ Questa base definisce uno spazio lineare graduato di dimensione $2^3=8$ e l'algebra corrispondente viene indicata con il simbolo di $\mathcal{G}_3$.
In $\mathcal{G}_3$ abbiamo rispetto a $\mathcal{G}_2$ alcuni nuovi prodotti da considerare.
Partiamo dal prodotto tra vettori e bivettori che abbiamo già incontrato in due dimensioni, dove ci siamo resi conto che un bivettore normalizzato (norma 1) genera le rotazioni di $90°$ rispetto al proprio piano. Le tre basi dei bivettori in 3D condividono la proprietà del singolo bivettore in 2D. Quindi: $$(e_1e_2)^2=(e_2e_3)^2=(e_3e_1)^2=-1$$ Abbiamo detto che il prodotto geometrico introdotto per i vettori può estendersi a tutti gli oggetti dell'algebra, pertanto possiamo formare oggetti del tipo $aB$, dove $a$ è un vettore e $B$ un bivettore. Intuitivamente possiamo aspettarci che un prodotto del tipo $aB$ conterrà in generale un termine che è un vettore e un'altro termine che è un trivettore (quest'ultimo appare quando $a$ non è contenuto nel piano definito da $B$). Per vedere questo scomponiamo il vettore $a$ nella somma di due termini, uno che giace nel piano $B$ ed un'altro ortogonale a questo piano: $$a=a_\parallel + a_\perp$$ e riscriviamo quindi il nostro prodotto come: $$aB=(a_\parallel + a_\perp)B=a_\parallel B + a_\perp B.$$ Il vettore $a_\parallel$ giace in $B$ e in questo piano possiamo sempre trovare un vettore $b$ che sia ortogonale a $a_\parallel$ e tale che $B = a_\parallel \wedge b=a_\parallel b$. Quindi il nostro prodotto diventa: $$aB = a_\parallel(a_\parallel b) + a_\perp a_\parallel b = a_\parallel^2 b + a_\perp a_\parallel b.$$ Il primo termine è chiaramente un vettore (parallelo a $b$) mentre il secondo termine essendo il prodotto geometrico di tre vettori tra loro ortogonali risulta un trivettore.
Per esplorare questa particolarità del prodotto geometrico tra vettori e bivettori, consideriamo il prodotto di un vettore $a$ con il bivettore $b\wedge c$. Usando le proprietà associative e distributive del prodotto geometrico otteniamo: $$a(b\wedge c)=a\frac{1}{2}(bc-cb)=\frac{1}{2}(abc-acb)$$ e usando ora la relazione $ab=2a\cdot b - ba$ scriviamo: $$a(b\wedge c)=(a\cdot b)c - (a\cdot c)b - \frac{1}{2}(bac-cab)=2(a\cdot b)c-2(a\cdot c)b+\frac{1}{2}(bc-cb)a=2(a\cdot b)c-2(a\cdot c)b+(b\wedge c)a$$ e quindi: $$a(b\wedge c) - (b\wedge c)a = 2(a\cdot b)c - 2(a\cdot c)b.$$ Essendo il termine di destra un vettore, risulta quindi che il prodotto antisimmetrizzato di un vettore con un bivettore è un altro vettore. Questa operazione quindi abbassa il grado e viene indicata con il simbolo dot: $$a\cdot B = \frac{1}{2}(aB-Ba)$$ Questo tipo di prodotto indicato con il simbolo $\cdot$ viene chiamato prodotto interno o dot product. Vedremo meglio la terminologia esatta da utilizzare nei post successivi in cui tratteremo il tutto in maniera assiomatica. Ripetiamo quindi l'equazione precedente in quanto è uno dei risultati più usati nell'algebra geometrica: $$a\cdot (b\wedge c) = (a\cdot b)c - (a\cdot c)b.$$ Quindi, ritornando al prodotto tra $a$ e $B$, osserviamo che risulta: $$a\cdot B = a_\parallel B = a_\parallel \cdot B,$$ e quindi l'effetto di prendere il dot product di un vettore e un bivettore e quello di proiettare la componente del vettore nel piano definito da $B$, ruotarla di $90°$ e dilatarla di un fattore dato dal modulo di $B$. En passant, osserviamo che (dall'ortogonalità di $a_\parallel$ e $b$): $$a\cdot B = a_\parallel^2 b = -(a_\parallel)b a_\parallel = -B\cdot a.$$ Possiamo anche considerare un "nuovo" tipo di prodotto. Questo tipo di prodotto viene chiamato wedge product o prodotto esterno ed alza il grado: $$a \wedge (b\wedge c) = \frac{1}{2}(a(b\wedge c) + (b\wedge c)a)$$. Esso è associativo come si può dimostrare in pochi passaggi algebrici: $$a\wedge (b\wedge c)=\frac{1}{2}(a(b\wedge c)+(b\wedge c)a) = \frac{1}{4}(abc-acb+bca-cba)=\frac{1}{4}(2(a\wedge b)c+bac+bca+2c(a\wedge b)-cab-acb)=\frac{1}{2}((a\wedge b)c+c(a\wedge b)+b(c\cdot a)-(c\cdot a)b)=(a\wedge b)\wedge c$$ Quindi ritornando al prodotto tra $a$ e $B$ nella parte che è un trivettore: $$a\wedge B=a_\perp B = a_\perp \wedge B$$ e quindi l'effetto del wedge product di un vettore con un bivettore è quello di prendere l'elemento di volume definito dal piano B e dalla componente ortogonale a tale piano del vettore $a$. Possiamo vedere che questo tipo di prodotto è simmetrico: $$a\wedge B = a_\perp \wedge a_\parallel \wedge b = -a_\parallel \wedge a_\perp \wedge b = a_\parallel \wedge b \wedge a_\perp = B \wedge a.$$ Pertanto è possibile scrivere per l'intero prodotto geometrico $aB$: $$aB = a\cdot B + a\wedge B,$$ dove il dot product sta ad indicare il grado più basso del prodotto, mentre il wedge product sta ad indicare il grado più alto del prodotto. In maniera simile al prodotto geometrico tra vettori possiamo scrivere sia il dot product sia il wedge product in termini del prodotto geometrico: $$a\cdot B = \frac{1}{2}(aB-Ba) \\ a\wedge B = \frac{1}{2}(aB+Ba).$$ Tuttavia bisogna fare attenzione ai segni che in questo caso sono esattamente al contrario del caso del prodotto geometrico tra vettori. Vediamo ancora una volta che l'intero prodotto, in questo caso tra un vettore e un bivettore, mette assieme termini di grado diverso, in questo caso un vettore e un trivettore. Il vantaggio ancora una volta è che tale prodotto è invertibile.

L'algebra dei bivettori
Abbiamo già visto che il quadrato delle tre basi per i bivettori ($e_1e_2,e_2e_3,e_3e_1$) è uno scalare pari a $-1$. Proviamo ora a moltiplicare due di queste basi, ad esempio: $$(e_1\wedge e_2)(e_2\wedge e_3)=(e_1e_2)(e_2e_3)=e_1e_3$$ e, invertendo i fattori: $$(e_2\wedge e_3)(e_1\wedge e_2)=e_2e_3e_1e_2=e_3e_2^2e_1=e_3e_1=-e_1e_3.$$ Quindi il prodotto tra bivettori ortogonali risulta antisimmetrico, in quanto la parte simmetrica si annulla proprio perché i piani sono ortogonali fra loro. Introduciamo la notazione: $$B_1=e_2e_3,\;\;\;\;\;B_2=e_3e_1,\;\;\;\;\;B_3=e_1e_2,$$ per i quali vale la relazione: $$B_iB_j=-\delta_{ij}-\epsilon_{ijk}B_k.$$ In questo caso abbiamo una parfetta analogia con il prodotto geometrico tra vettori, in quanto la parte simmetrica è uno scalare, mentre la parte antisimmetrica un bivettore. In dimensioni più alte viene fuori che la parte simmetrica del prodotto di due bivettori può avere grado zero e grado 4 (e che verranno indicati quindi rispettivamente con il dot product che abbassa il grado e il wedge product che lo alza), mentre la parte antisimmetrica risulta sempre un bivettore, e pertanto l'algebra dei bivettori è chiusa rispetto al prodotto antisimmetrico.
La base dei bivettori soddisfa quindi le relazioni: $$B_1^2=B_2^2=B_3^2=-1$$ e $$B_1B_2=-B_2B_1, \textit{ ecc...}.$$ Queste non sono altro che le relazioni che sussistevano per le basi dei quaternioni introdotte da Hamilton. Possiamo ora quindi chiarire la natura dei problemi che ebbe Hamilton con i quaternioni. Egli infatti identificava i quaternioni puri (con parte scalare nulla) con i vettori, mentre noi ora osserviamo che essi erano in realtà dei bivettori. Hamilton inoltre impose la condizione $ijk=-1$ sulla base dei quaternioni, mentre ora abbiamo: $$B_1B_2B_3=e_2e_3e_3e_1e_1e_2=+1.$$ Per poter effettuare quindi un isomorfismo tra le basi dei quaternioni e le basi $B_i$, bisogna cambiare un segno da qualche parte, ad esempio prendendo: $$i\leftrightarrow B_1,\;\;\;\;\;j\leftrightarrow -B_2,\;\;\;\;\;k\leftrightarrow B_3,$$ che ci mostra come le basi dei quaternioni erano in realtà un insieme sinistrogiro di bivettori, invece del sistema destrogiro di vettori che Hamilton teorizzava.

I trivettori
Prendendo tre vettori $a$, $b$ e $c$, il trivettore $a\wedge b \wedge c$ può essere visto come l'elemento di volume orientato dato dal parallelepipedo ottenuto "spazzando" l'area di $a\wedge b$ lungo il vettore $c$. Chiaramente lo stesso volume orientato si ottiene "spazzando" l'area di $b\wedge c$ lungo il vettore $a$, ovvero il prodotto è associativo $a\wedge (b\wedge c)=(a\wedge b)\wedge c$. Il trivettore $a\wedge b\wedge c$ cambia di segno se scambiamo due dei vettori, mentre un doppio scambio fa ritornare la chiralità in quella originale. Quindi: $$a\wedge b \wedge c = b\wedge c\wedge a = c\wedge a \wedge b.$$ Prendendo i vettori di una base ortogonale in analogia con quanto fatto nel caso bidimensionale, definiremo lo pseudoscalare $I$ come: $$I=e_1e_2e_3,$$ dove ($e_1, e_2, e_3$) è una base ortonormale destrogira. Per una base sinistrogira il prodotto sarebbe $-I$. Dati tre vettori arbitrari avremo pertanto che: $$a\wedge b\wedge c = \kappa I,$$ con $|\kappa|$ che rappresenta il volume del parallelepipedo definito da $a$, $b$ e $c$ mentre il segno di $\kappa$ ci dice se la terna di vettori è destrogira o sinistrogira (rispetto alla base considerata). Consideriamo ora il prodotto del vettore $e_1$ con $I$: $$e_1I=e_1(e_1e_2e_3)=e_2e_3.$$ Esso quindi ci restituisce il bivettore che rappresenta il piano perpendicolare al vettore $e_1$. Quindi il prodotto di un elemento di grado $1$ con un elemento di grado $3$ ci dà un elemento di grado $2$. Moltiplicando da sinistra otteniamo: $$Ie_1=(e_1e_2e_3)e_1=-e_1e_2e_1e_3=e_1^2e_2e_3=e_2e_3,$$ dalla quale osserviamo che $I$ commuta con il vettore $e_1$. Possiamo ripetere questo calcolo anche per $e_2$ e per $e_3$ ed osservare che quindi $I$ commuta con tutti i vettori: $$aI=Ia.$$ Questa relazione di commutazione dello pseudoscalare $I$ con i vettori vale per tutti gli spazi di dimensione dispari, mentre abbiamo visto che lo pseudoscalare di $\mathcal{G}_2$ anticommutava con i vettori, cosa che è comune a tutti gli spazi di dimensione pari. Possiamo quindi scrivere le nostre basi per i bivettori anche in questa maniera: $$B_3=e_1e_2=Ie_3,\;\;\;\;B_1=e_2e_3=Ie_1,;\;\;\;B_2=e_3e_1=Ie_2$$ Questa operazione di moltiplicazione per lo pseudoscalare $I$ viene chiamata dualità. Poichè tale moltiplicazione abbassa il grado possiamo anche scriverla come dot product: $$aI=a\cdot I,$$ dove, come sempre il $\cdot$ indica l'elemento di grado più basso del prodotto. Anche in questo caso vi è un'interpretazione "proiettiva" - cioè proiettare le componenti di $I$ in maniera perpendicolare al vettore $a$. Prendiamo ora il quadrato di $I$: $$I^2=e_1e_2e_3e_1e_2e_3=e_1e_2e_1e_2=-1.$$ Quindi lo pseudoscalare commuta con tutti gli elementi e il suo quadrato è $-1$. Abbiamo quindi le stesse proprietà dell'unità immaginaria $i$, e per molte applicazioni lo pseudoscalare $I$ di $\mathcal{G}_3$ è quello che meglio rappresenta $i$. Tuttavia, per evitare confusioni, continueremo ad usare il simbolo $I$.
Infine, consideriamo il prodotto tra trivettori e bivettori. Se moltiplichiamo, ad esempio, $I$ con il bivettore $e_1\wedge e_2$ otteniamo: $$I(e_1\wedge e_2)=e_1e_2e_3e_1e_2=e_1e_3e_1=-e_3,$$ cioè otteniamo il vettore (cambiato di segno) ortogonale al piano definito da $e_1\wedge e_2$. Questo ci ricorda il prodotto vettoriale ed è facile vedere (esercizio!) che possiamo scrivere in generale: $$a\times b= -I(a\wedge b).$$ Avendo a disposizione il prodotto esterno e l'operazione di dualità il prodotto vettoriale è quindi ridondante, in quanto esso non è altro che un bivettore "camuffato", risultando infatti un vettore collegato ad un bivettore tramite un'operazione di dualità. Questo ci permette di poter non usare il prodotto vettoriale nelle applicazioni e usare soltanto vettori e bivettori.

Una particolare rappresentazione di $\mathcal{G}_3$
Se consideriamo il prodotto geometrico di due vettori della base ortonormale, risulta, utilizzando la dualità, che: $$e_ie_j=e_i\cdot e_j + e_i\wedge e_j=\delta_{ij}+I\epsilon_{ijk}e_k$$ Questa relazione è identica alla relazione che sussiste tra le matrici di Pauli della meccanica quantistica, la quale è data da: $$\sigma_i\sigma_j=\delta_{ij}I+i\epsilon_{ijk}\sigma_k,$$ dove $I$ è la matrice identità $2\times 2$. Le matrici di Pauli sono: $$\sigma_1=\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right); \;\;\;\; \sigma_2=\left(\begin{matrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{matrix}\right); \;\;\;\; \sigma_3=\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix}\right)$$ Storicamente queste matrici furono inventate da Pauli nel suo studio sulla teoria quantistica non relativistica dello spin. Il collegamento con l'algebra geometrica avvenne solo dopo. Possiamo quindi interpretare le matrici di Pauli come una rappresentazione matriciale dell'algebra di $\mathcal{G}_3$, oltre che alla più nota interpretazione come componenti di un vettore di isospin. Si evince che nella meccanica quantistica non relativistica (quindi con lo spazio tridimensionale disgiunto dal tempo) lo spin (e più in generale il momento angolare) risulta direttamente incorporato nell'algebra geometrica dello spazio in cui si lavora. Vedremo che le matrici $\gamma$ di Dirac, che sono l'equivalente relativistico delle matrici di Pauli, sono incorporate automaticamente nell'algebra dello spaziotempo relativistico. Ricordando la frase di Galileo riportata nel primo post del corso, dovremmo convenire che il pisano sarebbe molto felice di queste connessioni.
Nel prossimo post parleremo delle operazioni di riflessione rispetto ad un piano e di rotazione degli elementi dell'algebra in 3D, ovvero gli strumenti che fanno la "forza" dell'algebra geometrica e concluderemo quindi la parte introduttiva del "corso".