Corso di Algebra geometrica - 3a - Algebra geometrica in 2D e in 3D

L'algebra geometrica nacque quando il matematico inglese William Kingdon Clifford, influenzato dal lavoro di Grassmann sul prodotto esterno e dal lavoro di Hamilton sui quaternioni, unificò i due concetti di prodotto interno (prodotto scalare) e prodotto esterno. Questa unificazione fu il grande lascito di Clifford, il quale, a soli 34 anni, morì l'anno dopo aver introdotto la sua fondamentale idea.
Questa parte verrà divisa in 3 parti. Nella prima introdurremo la nozione di prodotto geometrico e presenteremo esplicitamente l'algebra geometrica in 2D con la connessione ai numeri complessi e le rotazioni. Nella seconda parte tratteremo diffusamente dell'algebra geometrica in 3D ed infine nella terza parte ci occuperemo di riflessioni e rotazioni in 3D (e non solo), che sono forse l'aspetto in cui la potenza dell'algebra geometrica emerge in tutto il suo splendore :D

Il prodotto geometrico tra vettori
Precedentemente abbiamo visto come nel prodotto di due numeri complessi $zw^*$ la parte reale rappresentasse il prodotto scalare dei vettori rappresentati dai numeri complessi $z$ e $w$, mentre la parte immaginaria codificava l'area orientata delimitata dai due vettori ed era data dal prodotto esterno dei due vettori. Inoltre risultava che la parte reale era simmetrica mentre la parte immaginaria antisimmetrica. L'idea geniale di Clifford fu quella di generalizzare tale tipo di prodotto per dimensioni arbitrarie. Il risultato generale era il prodotto geometrico dei vettori $a$ e $b$, che indicheremo semplicemente con $ab$. Esso risulta quindi uguale a: $$ab=a\cdot b + a\wedge b.$$ A prima vista la somma di uno scalare con un bivettore potrebbe lasciare perplessi, in quanto sembra il classico caso di somma tra mele e pere e di fatto questo fu il principale scoglio concettuale che molti matematici dovettero superare prima di accettare il prodotto geometrico. Come interpretare quindi tale somma? La risposta è che esso va interpretato nella stessa maniera in cui si vede la somma tra la parte reale e la parte immaginaria di un numero complesso, il cui risultato non è né un numero reale né un numero immaginario, ma si combinano a formare una nuova entità, il numero complesso. Alla stessa maniera, la parte scalare e la parte bivettoriale del prodotto geometrico tra vettori sono in un certo senso le sue componenti reali e immaginarie. Il vantaggio di questa notazione è lo stesso che si ha nell'usare i numeri complessi nella loro interezza invece che lavorare separatamente con la parte reale e la parte immaginaria. Questa analogia non è soltanto di natura pedagogica ma è molto profonda, in quanto il prodotto geometrico contiene al suo interno (a seconda delle dimensioni dello spazio) sia i numeri complessi che i quaternioni, anzi si può ben dire che si generalizza la nozione di numero complesso a spazi di dimensioni arbitrarie.
Osserviamo che scambiando i vettori $a$ e $b$ si ottiene: $$ba = b\cdot a + b\wedge a = a\cdot b - a\wedge b$$ Quindi scambiare $a$ con $b$ è come prendere il complesso coniugato di un numero complesso, in cui cambia il segno della parte immaginaria.
Ne consegue che: $$a\cdot b = \frac{1}{2}(ab+ba)$$ e che: $$a\wedge b = \frac{1}{2}(ab-ba)$$ Inoltre risulta che il prodotto geometrico di un vettore $a$ con sé stesso è: $$a^2=a\cdot a + a\wedge a = a\cdot a = |a|^2,$$ e pertanto $a^2$ rappresenta il quadrato del modulo del vettore $a$ ed è quindi uno scalare.
Invece, se $a$ e $b$ sono due vettori ortogonali, otteniamo che: $$ab=a\cdot b + a\wedge b = a \wedge b$$ e quindi il prodotto di due vettori ortogonali risulta un bivettore puro. Pertanto se $a$ e $b$ sono ortogonali risulta anche che: $$ba = b\wedge a = -a\wedge b = -ab,$$ la quale ci mostra che due vettori ortogonali anticommutano rispetto al prodotto geometrico.
Clifford non si limitò soltanto ad introdurre il prodotto geometrico. Egli descrisse un sistema algebrico completo in cui gli scalari si possono sommare a vettori, bivettori, ecc... per formare gli elementi di quest'algebra, noti come multivettori. L'algebra geometrica è un'algebra graduata, cioè un'algebra i cui elementi si possono decomporre in più termini di differente grado. Gli scalari si dicono di grado $0$, i vettori di grado $1$, i bivettori di grado $2$ e così via. Il grado dell'elemento rappresenta le dimensioni dell'iperpiano che l'elemento specifica. Possiamo considerare l'operazione di proiezione di un elemento in un determinato grado con la notazione $\langle \rangle_r$. In questo modo $\langle \rangle_2$ determina il termine di grado $2$ del prodotto geometrico $ab$, cioè: $$\langle ab\rangle_2=a\wedge b.$$ Usualmente il suffisso "0" per indicare gli scalari viene omesso, pertanto si scrive: $$\langle ab\rangle=a\cdot b.$$ Possiamo anche considerare il prodotto geometrico di più vettori, con la proprietà che esso sia associativo: $$a(bc)=(ab)c=abc$$
I multivettori, cioè la somma di più elementi di diverso grado, verranno indicati con le lettere maiuscole $A,B,C$. Anche per essi considereremo il prodotto geometrico che risulterà essere:

• $(i)$ associativo: $(AB)C=A(BC)=ABC$
• $(ii)$ distributivo: $A(B+C)=AB+AC$

La proprietà associativa ci permetterà ora di dividere per i vettori. Infatti se prendiamo $ab=C$, dove C sappiamo ora essere una combinazione di uno scalare e di un bivettore, avremo che: $$Cb = (ab)b=a(bb)=ab^2,$$
in questo modo definendo $b^{-1}=b/b^2$ e quindi: $$a=Cb^{-1}$$ È proprio questa possibilità di dividere per i vettori che conferisce all'algebra di Clifford una notevole potenza di calcolo.
Come esempio calcoliamo il quadrato del bivettore $a\wedge b$, cosa che ci ritornerà utile in seguito: $$(a\wedge b)(a\wedge b)=(ab-a\cdot b)(ab - a\cdot b)=-ab^2a-(a\cdot b)^2+a\cdot b(ab+ba)=(a\cdot b)^2-a^2b^2=a^2b^2\cos^2\theta-a^2b^2=-a^2b^2\sin^2\theta$$ Algebra geometrica del piano (2D)
In un piano possiamo considerare una base ortonormale ($e_1,e_2$). È facile verificare che: $$e_1^2=e_2^2=1;\;\;\;\;\;\;e_1\cdot e_2=0$$ Il bivettore $e_1\wedge e_2$ rappresenta il grado più alto dell'algebra in quanto abbiamo stabilito che il prodotto di un insieme di vettori linearmente dipendenti è sempre zero. Quindi l'algebra è data da questi quattro elementi: $$1 \textit{ (1 scalare);}\;\;\;\;e_1,e_2 \textit{ (2 vettori);}\;\;\;\;e_1\wedge e_2 \textit{ (1 bivettore)}$$ Questa algebra viene di solito indicata con $\mathcal{G}_2$. Un generico multivettore in questa base viene indicato come: $$A=\alpha_0+\alpha_1e_1+\alpha_2e_2+\alpha_3e_1\wedge e_2,$$ dove le $\alpha$ sono numeri reali.
Osserviamo che essendo $e_1$ e $e_2$ ortogonali tra loro, possiamo scrivere che $e_1\wedge e_2=e_1e_2$, e quindi come sempre accade per vettori ortogonali $e_1e_2=-e_2e_1$.
Consideriamo ora il prodotto da sinistra di $e_1\wedge e_2$ con i vettori della base: $$(e_1\wedge e_2)e_1=(e_1e_2)e_1=(-e_2e_1)e_1=-e_2(e_1e_1)=-e_2e_1^2=-e_2$$ e $$(e_1\wedge e_2)e_2=(e_1e_2)e_2=e_1(e_2e_2)=e_1$$ Pertanto, assumendo sempre la chiralità destra per $e_1$ e $e_2$, moltiplicare da sinistra per il bivettore $e_1\wedge e_2$ fa ruotare i vettori di $90°$ in verso orario (ovvero in senso negativo). Analogamente, moltiplicando ora da destra: $$e_1(e_1e_2)=e_2\;\;\;\;e_2(e_1e_2)=-e_1,$$ e quindi la moltiplicazione da destra ruota i vettori di $90°$ in verso antiorario (cioè positivamente). Il prodotto finale da considerarsi è il quadrato del bivettore $e_1\wedge e_2$: $$(e_1\wedge e_2)^2=e_1e_2e_1e_2=-e_1e_1e_2e_2=-1.$$ Pure considerazioni geometriche ci hanno permesso di arrivare ad una quantità il cui quadrato è $-1$. Questo oltre ad essere geometricamente esatto (in quanto due successive rotazioni di $90°$ ruotano un vettore di $180°$, il che è equivalente a moltiplicare un vettore per $-1$), ci apre la possibilità di interpretare geometricamente l'unità immaginaria così abbondantemente utilizzata nella fisica. (si veda anche l'esercizio 2.3 per capire come $i$ ruoti i numeri complessi di $90°$).
Se consideriamo due multivettori qualsiasi, $A$ e $B$, il loro prodotto $AB$ è dato da: $$AB=M=\mu_o + \mu_1e_1+\mu_2e_2+\mu_3e_1e_2$$ dove $$\mu_0=\alpha_0\beta_0+\alpha_1\beta_1+\alpha_2\beta_2 -\alpha_3\beta_3$$ $$\mu_1=\alpha_0\beta_1+\alpha_1\beta_0+\alpha_3\beta_2-\alpha_2\beta_3$$ $$\mu_2=\alpha_0\beta_2 + \alpha_2\beta_0+\alpha_1\beta_3-\alpha_3\beta_1$$ $$\mu_3=\alpha_0\beta_3 + \alpha_3\beta_0+\alpha_1\beta_2-\alpha_2\beta_1$$ Tale prodotto è usato raramente, ma scritto esplicitamente ci permette di osservare come esso sia ben definito e quindi l'algebra è chiusa rispetto alla moltiplicazione geometrica tra multivettori.

Connessione con i numeri complessi
Come abbiamo visto il bivettore $e_1\wedge e_2$ ha quadrato pari a $-1$ e genera le rotazioni di $90°$. Possiamo quindi vedere un numero complesso esattamente come la combinazione di uno scalare e di un bivettore attuata tramite un prodotto geometrico scrivendo: $z=u+ve_1e_2=u + Iv,$ dove $I=e_1\wedge e_2$ e $I^2=-1$. Con il termine $I$ viene di solito indicato l'elemento di grado più alto di un'algebra che viene chiamato anche con il nome di pseudoscalare. Avremmo la tentazione di porre al posto di $I$, $i$, l'unità immaginaria come a volte viene fatto in letteratura, ma ciò suggerisce un elemento che commuta con tutti gli altri, cosa che non è sempre vera per lo pseudoscalare I nelle varie dimensioni.
Nell'algebra $\mathcal{G}_2$ i vettori sono gli oggetti di grado $1$ definiti come: $$x=ue_1+ve_2$$ Per "mappare" tali vettori $x$ nei numeri complessi $z$ consideriamo il prodotto da destra per $e_1$: $$e_1x=e_1(ue_1+ve_2)=ue_1e_1+ve_1e_2=u+Iv=z$$ Questo è tutto ciò che bisogna fare! Usando questo prodotto si può passare dai vettori ai numeri complessi senza problemi. Il complesso coniugato $z^*$ di $z$ si ottiene semplicemente moltiplicando da sinistra per $e_1$: $$z^*=xe_1=(ue_1+ve_2)e_1=ue_1e_1+ve_2e_1=u-ve_1e_2=u - Iv$$ E' bastato quindi invertire l'ordine del prodotto geometrico. Questa operazione la incontreremo spesso e vedremo che si darà ad essa il nome di inversione. Se $z=e_1x$ e $w=e_1y$ sono due numeri complessi allora il prodotto $zw^*$ è dato da: $$zw^*=w^*z=ye_1e_1x=yx$$ che è proprio quello che ci aspettavamo, considerando il fatto che abbiamo usato proprio l'algebra dei numeri complessi per suggerire la forma del prodotto geometrico.
Per ruotare un numero complesso $z$ di un angolo $\phi$ si effettua la trasformazione: $$z'=e^{i\phi}z,$$ dove $i$ è naturalmente l'unità immaginaria. Se ora vediamo di nuovo $z$ come la combinazione di uno scalare e di uno pseudoscalare in $\mathcal{G}_2$ allora possiamo sostituire $i$ con $I$. L'esponenziale di $I\phi$ possiamo sempre definirlo con una serie di potenze come si fa abitualmente, quindi: $$e^{I\phi}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(I\phi)^n}{n!}=\cos\phi + I\sin\phi.$$ Sappiamo che $z'$ ha il suo equivalente vettoriale $x'=e_1z'$, pertanto: $$x'=e_1z'=e_1e^{I\phi}z=e_1e^{I\phi}e_1x$$ ma risulta che: $$e_1e^{I\phi}e_1=e_1(cos\phi+I\sin\phi)e_1=\cos\phi - I\sin\phi=e^{-I\phi},$$ dove abbiamo usato la proprietà che $I$ anticommuta con i vettori. Pertanto si arriva alla formula: $$x'=e^{-I\phi}x=xe^{I\phi},$$ con la quale si ottiene quindi la rotazione di un angolo $\phi$ del vettore $x$ nel piano definito da $I$. Il cambio di segno nell'esponenziale nell'agire da sinistra o da destra rispetto al vettore era da aspettarsi. Infatti come abbiamo visto precedentemente, moltiplicare da sinistra per $I$ genera rotazione sinistrogire, mentre la moltiplicazione da destra genera quelle destrogire, pertanto il segno di $I$ deve essere negativo quando agisce da sinistra.

Questo conclude il nostro trattamento di $\mathcal{G}_2$. Nel prossimo post tratteremo dell'algebra tridimensionale $\mathcal{G}_3$, per molti versi più interessante e più ricca e chiariremo molti dei dubbi che il buon Hamilton aveva sui suoi quaternioni...