Corso di Algebra geometrica - 2c - Esercizi

2.1
Dimostrare che i seguenti insiemi rappresentano degli spazi vettoriali:
$(a)$ L'insieme di tutti i polinomi di grado $n$;
$(b)$ L'insieme di tutte le matrici $n \times m$;
$(c)$ L'insieme delle soluzioni di una data equazione differenziale lineare omogenea.


2.2
Dimostrare le seguenti espressioni:
$(a)$ $a\cdot (b\times c)=b\cdot(c\times a) = c\cdot (a\times b)$
$(b)$ $a\times(b\times c)=(a\cdot c)b - (a\cdot b)c$
$(c)$ $|a\times b|=|a||b|\sin\theta$, dove $a\cdot b = |a||b|\cos\theta$

2.3
Dato un numero complesso $z=x+iy$, si calcolino i numeri $w_1=iz$ e $w_2=-iz$. Cosa rappresentano $w_1$ e $w_2$?

2.4
Dato un quaternione $q=a+bi+cj+dk$, il suo complesso coniugato si definisce come $\bar{q}=a-bi-cj-dk$. Dimostrare che $\bar{pq}=\bar{q}\bar{p}$

2.5
Sia $\mathcal{S}^3$ l'insieme di tutti i quaternioni unitari (di norma 1). Verificare che $\mathcal{S}^3$ forma un gruppo per l'operazione di moltiplicazione. Come possiamo definire l'inverso di un elemento $q$ in questo insieme?.
2.6
Sia $q$ un quaternione unitario e $p$ un quaternione puro. Mostrare che $qpq^{-1}$ è un altro quaternione puro.
2.7
Dimostrare che la dimensione dello spazio definito dal prodotto esterno di $m$ vettori appartenenti ad uno spazio di dimensione $n$ è data da: $$\frac{n!}{(n-m)!m!}$$
2.8
Data in uno spazio quadridimensionale euclideo la base ($e_1,e_2,e_3,e_4$) e i vettori $a=a_ie_i$, $b=b_ie_i$, $c=c_ie_i$, calcolare il loro prodotto esterno $a\wedge b \wedge c$. Cosa rappresenta questo prodotto geometricamente?

2.9
In un piano un poligono convesso di $n$ lati è rappresentato dando l'insieme ordinato dei punti ($x_1,x_2,...,x_n$) che rappresentano i suoi vertici. Dimostrare che l'area (orientata) del poligono è data da: $$A=\frac{1}{2}(x_1\wedge x_2 + x_2 \wedge x_3 + ... x_n\wedge x_1)$$.