Corso di algebra geometrica - 2a - Spazi vettoriali

In questa seconda parte del corso daremo alcuni rudimenti sui vettori e gli spazi vettoriali in generale. Il materiale presentato in questa parte non dovrebbe risultare nuovo e dovrebbe essere nelle riminiscenze liceali di molti. Tuttavia, saremo alquanto didascalici, nel limite del possibile, per venire incontro anche a chi ha poca conoscenza di questi argomenti.

Gli spazi vettoriali

Una tendenza naturale della matematica è l'astrazione. Spesso l'astrazione viene confusa per astrusità, mentre in realtà il principale vantaggio dell'astrazione è quella di unificare concetti diversi in unico framework e di rendere le cose più semplici. Infatti, invece di parlare di vettori tout court è più comodo parlare di spazi vettoriali. Uno spazio vettoriale è l'ambiente in cui vive un vettore.

Tuttavia è anche istruttivo ricordare l'idea comune di vettore come di una "freccia" tra due punti A e B:

Inoltre, in molti hanno presente le operazioni che si possono effettuare con questi vettori, come la somma e la differenza tra vettori, la moltiplicazione tra un vettore e un numero reale, ecc... Astraendo un po' possiamo dire che uno spazio vettoriale è definito mediante due oggetti. Questi sono i vettori stessi, ovviamente, e i numeri reali. Con questi oggetti possiamo effettuare alcune operazioni. Tra queste operazioni c'è la somma tra vettori. Questa somma gode di alcune proprietà che elenchiamo:

• commutatività: $a+b=b+a$
• associatività: $a+(b+c)=(a+b)+c$, e quindi possiamo scrivere senza ambiguità $a+b+c$
• esistenza dell'elemento identità: $a+0=a$
• esistenza dell'elemento inverso $-a$ per ogni elemento $a$ dello spazio vettoriale, in modo che $a+(-a)=0$

Tutte queste proprietà sono intuitive dal punto di vista geometrico. Ad esempio con riferimento alla figura seguente è facile vedere il significato geometrico dell'associatività della somma dei vettori.

Accanto a questa operazione di somma tra vettori esiste anche un'operazione di moltiplicazione tra gli scalari e i vettori stessi. Dato uno scalare $\lambda$ e un vettore $a$, il prodotto $\lambda a$ è anch'esso un vettore appartenente allo spazio vettoriale. Geometricamente parlando questa operazione non è nient'altro che una dilatazione ($\lambda > 1$) o una contrazione ($\lambda < 1$) del vettore stesso. Anche quest'operazione di moltiplicazione di uno scalare con un vettore ha le sue proprietà:

• $\lambda(a+b)=\lambda a + \lambda b$
• $(\mu + \nu)a=\mu a + \nu a$
• $(\mu\nu)a=\mu(\nu a)$
• se $1\lambda=\lambda$ per tutti gli scalari $\lambda$ allora $1a=a$ per tutti i vettori $a$

Anche queste operazioni sono abbastanza intuitive. A questo punto abbiamo bisogno di alcune definizione che saranno utili per poter definire la dimensionalità di uno spazio vettoriale.

• $(a)$: Un vettore $v$, con $v\neq 0$, si dice combinazione lineare degli $n$ vettori $a_1,...,a_n$ se possiamo trovare $n$ scalari $\lambda_1,...,\lambda_n$ (non tutti nulli) tali che: $$v=\lambda_1 a_1 + ... + \lambda_n a_n = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i a_i$$
• $(b)$: Un insieme di $n$ vettori $a_1,...,a_n$ si dice essere linearmente dipendente se esistono $n$ scalari $\lambda_1,...\lambda_n$ tali che: $$\lambda_1 a_1 + ... + \lambda_n a_n = 0$$
  Se tali scalari non possono essere trovati, allora gli $n$ vettori dati sono detti linearmente indipendenti
• $(c)$: Un insieme di vettori $a_1,...,a_n$ si dice che ricopre uno spazio vettoriale $\mathcal{V}$, se ogni elemento di $\mathcal{V}$ può essere espresso come combinazione lineare dei vettori dati.
• $(d)$: Un insieme di vettori che siano linearmente indipendenti e che ricoprono uno spazio vettoriale $\mathcal{V}$ formano una base per lo spazio vettoriale $\mathcal{V}$.

Anche queste definizioni sono abbastanza ovvie e intuitive. Infatti è chiaro come tre vettori linearmente indipendenti sono sufficienti a formare una base per tutti vettori dello spazio, così come nel caso del piano bastano due vettori linearmente indipendenti. Inoltre, è facile dimostrare con queste definizioni e con l'uso delle proprietà delle operazioni sui vettori che tutte le basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di elementi (lasciamo la dimostrazione al lettore). Questo numero è identificato con la dimensione dello spazio vettoriale.
Le operazioni fin qui viste sono le uniche che servono ad effettuare le mere operazioni geometriche con i vettori. Tuttavia, per affrontare problemi di carattere più fisico abbiamo bisogno di introdurre nuove operazioni con i vettori. La prima operazione che andiamo a considerare è il prodotto scalare.

Prodotto scalare

Alcune concezioni della geometria euclidea hanno bisogno per essere definite della nozione di distanza tra punti dello spazio e di angolo tra due linee. L'introduzione del prodotto scalare tra due vettori viene incontro ad entrambe queste esigenze. In parole semplici il prodotto scalare tra due vettori $a, b$ ci restituisce uno scalare. Tale prodotto viene indicato in questa maniera $a \cdot b$ e gode anch'esso di alcune proprietà:

• $(i)$: simmetria: $a \cdot b = b \cdot a$
• $(ii)$: $a \cdot (\lambda b) = \lambda(a \cdot b)$
• $(iii)$: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
• $(iv)$: $a \cdot a > 0$, tranne nel caso $a=0$, dove vale $a\cdot a = 0$.

La $(iv)$, detta definizione positiva del prodotto scalare, come vedremo in seguito si può rilassare (ad esempio nella geometria minkowskiana della relatività), tuttavia con essa si definisce l'abituale spazio euclideo. Infatti tramite tale proprietà possiamo definire il modulo (o lunghezza) di un vettore come: $$|a|=\sqrt{a \cdot a}$$. Inoltre, tramite la $(iv)$ si può dimostrare la ben nota disuguaglianza di Schwarz:$$|a \cdot b| \le |a||b|$$.
Infine tramite il prodotto scalare possiamo definire l'angolo tra due vettori:$$a\cdot b=|a||b|\cos\theta$$. Due vettori il cui prodotto scalare è zero si dicono pertanto ortogonali, ovvero l'angolo formato tra essi è di $90°$
Possiamo ora, utilizzando il prodotto scalare, raffinare la nostra nozione di base, scegliendo tra tutte le basi possibili, quelle che si chiamano ortonormali. Una base ortonormale in uno spazio vettoriale $n$-dimensionale è ottenuta prendendo $n$ vettori $e_1,...,e_n$ di lunghezza unitaria e tra loro ortogonali. Ovvero una base per cui:$$e_i\cdot e_j=\delta_{ij},$$ dove $\delta_{ij}$ è il delta di Kronecher, così definito: $$\delta_{ij}=\begin{cases}1 & i=j\\0 & i\neq j\end{cases}$$. Possiamo espandere un qualsiasi vettore $a$ in questa base scrivendo $a=a_1e_1+...+a_ne_n$, dove le $a_i$ sono dette componenti del vettore per la base data. Tali componenti si ottengono semplicemente utilizzando il prodotto scalare: $a_i = e_i\cdot a$.
Introduciamo una notazione che verrà utilizzata spesso, detta convenzione di Einstein sulla somma sugli indici ripetuti. Per questa convenzione possiamo scrivere il vettore $a$ semplicemente come $a=a_ie_i$, sottintendo la somma ogni volta che due indici (nel nostro caso $i$) sono ripetuti. Quindi $a_ie_i=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n a_ie_i$
Considerando le componenti possiamo considerare un vettore $n$-dimensionale come una $n$-pla ordinata di numeri $(a_1,...,a_n)$.
È facile vedere ora come usare le componenti per calcolare il prodotto scalare. Infatti, dati due vettori $a=a_ie_i$ e $b=b_je_j$, allora abbiamo che: $$a\cdot b = (a_ie_i)\cdot(b_je_j)=a_ib_j(e_i\cdot e_j)=a_ib_j\delta_{ij}=a_ib_i$$ dove abbiamo usato abbondantemente la convenzione di Einstein sugli indici ripetuti

Vettori in due dimensioni e numeri complessi

Esiste una semplice connessione tra i vettori in due dimensioni e i numeri complessi. Essendo in questo caso il vettore rappresentabile da una coppia ordinata $(x,y)$, possiamo considerare il numero complesso $z=x+iy$ come rappresentante il vettore di componenti $(x,y)$. Questa corrispondenza è di tipo 1 a 1, quindi c'è un isomorfismo tra i vettori in due dimensioni e i numeri complessi. Con i numeri complessi incontriamo un nuovo tipo di prodotto tra vettori. Innanzitutto dato un numero complesso $z=x+iy$, si chiama complesso coniugato di $z$ il numero $z^*=x-iy$, dove si è cambiato il segno della parte immaginaria. Calcoliamo il prodotto $zz^*$, utilizzando la nota regola per cui $i^2=-1$: $$zz^*=(x+iy)(x-iy)=x^2+iyx-ixy+y^2=x^2+y^2$$. Il prodotto $zz^*$ rappresenta quindi il modulo o lunghezza del vettore di componenti $(x,y)$. Se adesso prendiamo due numeri complessi $z=x+iy$ e $w=u+iv$ e consideriamo il prodotto $zw^*$. Si ha: $$zw^*=(x+iy)(u-iv)=xu+yv+i(uy-vx)$$. Se osserviamo bene ci rendiamo conto che la parte reale riproduce esattamente il prodotto scalare tra il vettore di componenti $(x,y)$ rappresentato dal numero complesso $z$ e il vettore di componenti $(u,v)$ rappresentato dal numero complesso $w$. Per capire invece cosa rappresenta la parte immaginaria, introduciamo la rappresentazione polare dei numeri complessi. La rappresentazione polare di un numero complesso si ottiene passando dalla coppia ordinata $(x,y)$ alla coppia $(|z|, \theta)$, dove $|z|$ è il modulo del numero complesso ($|z|=\sqrt{x^2+y^2}$), e $\theta$ rappresenta l'angolo che il vettore forma con l'asse x. Un'immagine, come al solito, credo valga mille parole:
In queste nuove coordinate possiamo scrivere che $z=x+iy=|z|(\cos\theta + i\sin\theta)$ ed usando la notazione di Eulero, per cui $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$, abbiamo alla fine che: $$z=|z|e^{i\theta}$$. Pertando il prodotto $zw^*$ lo possiamo scrivere come: $$zw^*=|z|e^{i\theta}|w|e^{-i\phi}=|z||w|e^{i(\theta-\phi)}$$. La parte immaginaria di questo prodotto è data quindi da $|z||w|\sin(\theta-\phi)$, dove $\theta-\phi$ è nient'altro che l'angolo compreso tra i due vettori. Essa rappresenta nient'altro che l'area del parallelogramma definito dai vettori $z$ e $w$. L'eventuale segno ci dà informazioni sull'orientamento dell'elemento spazzato dai due vettori, e come vedremo in seguito, c'è un modo per definirlo più accuratamente. Abbiamo pertanto un preciso significato geometrico sia per la parte reale sia per la parte immaginaria di $zw^*$. I più "scafati" vedranno nel termine $(uy-vx)$ una reminiscenza del prodotto vettoriale. Nella prossima lezione quando passeremo ai vettori in tre dimensioni e ai quaternioni, approfondiremo il concetto di prodotto vettoriale e introdurremo il concetto più ampio di prodotto esterno tra vettori. Dopodiché avremo tutti i rudimenti necessari per unificare i due tipi di prodotti, scalare e vettoriale, nel prodotto geometrico di Clifford.